• 已知函数f(x)=23x+12,h(x)=√x.(Ⅰ)设函数F(x)=18f(x)-x2[h(x)]2,求F(x)的单调区间与极值;(Ⅱ)设a∈R,解关于x的方程lg[32f(x-1)-34]=2lgh(a-x)-2lgh(4-x);(Ⅲ)设n∈Nn,证明:f(n)h(n)-[h(1)+h(2)+…+h(n)]≥16.试题及答案-解答题-云返教育

    • 试题详情

      已知函数f(x)=
      2
      3
      x+
      1
      2
      ,h(x)=
      x

      (Ⅰ)设函数F(x)=18f(x)-x
      2[h(x)]2,求F(x)的单调区间与极值;
      (Ⅱ)设a∈R,解关于x的方程lg[
      3
      2
      f(x-1)-
      3
      4
      ]=2lgh(a-x)-2lgh(4-x);
      (Ⅲ)设n∈N
      n,证明:f(n)h(n)-[h(1)+h(2)+…+h(n)]≥
      1
      6

      试题解答


      见解析
      解:(Ⅰ)F(x)=18f(x)-x2[h(x)]2=-x3+12x+9(x≥0)
      所以F′(x)=-3x
      2+12=0,x=±2
      且x∈(0,2)时,F′(x)>0,当x∈(2,+∞)时,F′(x)<0
      所以F(x)在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减.
      故x=2时,F(x)有极大值,且F(2)=-8+24+9=25
      (Ⅱ)原方程变形为lg(x-1)+2lg
      4-x
      =2lg
      a-x

      ?
      {
      x>1
      4-x>0
      a-x>0
      (x-1)(4-x)=a-x
      ?
      {
      1<x<4
      x<a
      a=-(x-3)2+5

      (1)当1<a<4时,原方程有一解x=3-
      a-5

      (2)当4<a<5时,原方程有两解x=3±
      a-5

      (3)当a=5时,原方程有一解x=3
      (4)当a≤1或a>5时,原方程无解.
      (Ⅲ)由已知得h(1)+h(2)+…+h(n)=
      1
      +
      2
      +…+
      n

      f(n)h(n)-
      1
      6
      =
      4n+3
      6
      n
      -
      1
      6

      从而a
      1=s1=1
      当k≥2时,a
      n=sn-sn-1=
      4k+3
      6
      k
      -
      4k-1
      6
      k-1

      an-
      k
      =
      1
      6
      [(4k-3)
      k
      -(4k-1)
      k-1
      ]
      =
      1
      6
      (4k-3)2-(4k-1)2(k-1)
      (4k-3)
      k
      +(4k-1)
      k-1

      =
      1
      6
      1
      (4k-3)
      k
      +(4k-1)
      k-1
      >0
      即对任意的k≥2,有
      an
      k

      又因为a
      1=1=
      1

      所以a
      1+a2+…+an
      1
      +
      2
      +…+
      n

      则s
      n≥h(1)+h(2)+…+h(n),故原不等式成立.
    MBTS ©2010-2016 edu.why8.cn