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  • 已知函数f(x)=12x2-2x，g（x）=logax．如果函数h（x）=f（x）+g（x）没有极值点，且h′（x）存在零点．（1）求a的值；（2）判断方程f（x）+2=g（x）根的个数并说明理由；（3）设点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是函数y=g（x）图象上的两点，平行于AB的切线以P（x0，y0）为切点，求证：x1＜x0＜x2．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=
      1
      2
      x2-2x，g（x）=logax．如果函数h（x）=f（x）+g（x）没有极值点，且h′（x）存在零点．
      （1）求a的值；
      （2）判断方程f（x）+2=g（x）根的个数并说明理由；
      （3）设点A（x      1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是函数y=g（x）图象上的两点，平行于AB的切线以P（x0，y0）为切点，求证：x1＜x0＜x2．

      试题解答

      见解析
      解：（1）依题意h(x)=
      1
      2
      x2-2x+logax，
      h，(x)=x-2+
      1
      xlna
      =
      x2lna-2xlna+1
      xlna

      ∵h（x）无极值，h′（x）存在零点
      ∴x      2lna-2xlna+1=0的△=0，
      即4（lna）      2-4lna=0，解得a=e或1，
      ∵g（x）=log      ax，
      ∴a≠1，
      ∴所求的a的值为e．
      （2）方程f（x）+2=g（x）可变形为
      1
      2
      x2-2x+2=lnx
      在同一坐标系中作出函数y=
      1
      2
      x2-2x+2和函数y=lnx的图象，如右图，观察图象，有两个交点，
      ∴方程f（x）+2=g（x）有两个不相等的实数根．
      （3）由已知
      1
      x0
      =
      y1-y2
      x1-x2
      ，
      所以      x0=
      x1-x2
      y1-y2
      x0-x1=
      x1-x2
      y1-y2
      -x1=
      x2-x1-x1(y2-y1)
      y2-y1
      =
      x2-x1-x1ln
      x2
      x1
      ln
      x2
      x1

      设t=
      x2
      x1
      得：x0-x 1=
      x1(t-1-lnt)
      lnt
      （t＞1）．构造函数y=t-1-lnt
      当t≥1时，      y/=1-
      1
      t
      =
      t-1
      t
      ≥0，所以函数y=t-1-lnt在当t≥1时是增函数
      所以t＞1时，t-1-lnt＞0，所以x      0-x1＞0得x0＞x1成
      同理可得x      0＜x2成立，所以x1＜x0＜x2
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