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  • 已知函数f（x）=alnx-x2，x=1是f（x）的一个极值点．（1）求a的值；（2）若方程f（x）+m=0在[1e，e]内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底数）；（3）令g（x）=f（x）+3x，若g（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（其中x1＜x2），求证：52＜x2-x1＜72．（参考数据：ln2≈0.7 e≈2.7）试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=alnx-x2，x=1是f（x）的一个极值点．
      （1）求a的值；
      （2）若方程f（x）+m=0在[
      1
      e
      ，e]内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底数）；
      （3）令g（x）=f（x）+3x，若g（x）的图象与x轴交于A（x      1，0），B（x2，0）（其中x1＜x2），求证：
      5
      2
      ＜x2-x1＜
      7
      2
      ．（参考数据：ln2≈0.7 e≈2.7）

      试题解答

      见解析
      解：（1）求导函数可得f′（x）=
      a
      x
      -2x=-
      2x2-a
      x
      （x＞0）
      ∵x=1是f（x）的一个极值点．
      ∴f′（1）=0，可得a=2．
      （2）f（x）=2lnx-x      2，令h（x）=f（x）+m=2lnx-x2+m，
      则h′（x）=
      2
      x
      -2x=-
      2
      x
      (x-1)(x+1)，
      令h′（x）=0，得x=1（x=-1舍去）．
      由于x∈[
      1
      e
      ，e]，
      则当x∈[
      1
      e
      ，1]时，h′（x）＞0，∴h（x）是增函数；
      当x∈[1，e]时，h′（x）＜0，∴h（x）是减函数，
      则方程h（x）=0在[
      1
      e
      ，e]内有两个不等实根的充要条件是：
      {
      h(
      1
      e
      )≤0 h(1)＞0
      h(e) ≤ 0．

      即1＜m≤2+
      1
      e2
      ．
      （3）若g（x）的图象与x轴交于A（x      1，0），B（x2，0）（其中x1＜x2），
      则方程2lnx-x      2+3x=0的解为x1，x2（其中x1＜x2）．
      故函数y=2lnx与y=x      2-3x的交点的横坐标为x1，x2，
      作出两函数图象如图．如图所示，
      由于2ln
      1
      2
      =-2ln2≈-1.4，(
      1
      2
      )2-3×
      1
      2
      =-
      5
      4
      =-1.25，所以
      1
      2
      ＜x1＜1，
      同理得到
      7
      2
      ＜x2＜4，

      故-1＜-x      1＜-
      1
      2
      ，所以
      5
      2
      ＜x2-x1＜
      7
      2
      ．
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      选修1-1北师大版解答题高中数学

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