已知函数f（x）=lnx+x2-ax（a∈R）；（1）若a=3，求函数f（x）的单调区间与极值（2）若函数f（x）≤2x2恒成立，求a的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

已知函数f（x）=lnx+x²-ax（a∈R）；
（1）若a=3，求函数f（x）的单调区间与极值
（2）若函数f（x）≤2x²恒成立，求a的取值范围．

见解析

解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）．
f′（x）=

+2x-3=

2x²-3x+1

，
当0＜x＜

或x＞1时，f^′(x)＞0，
当

＜x＜1时，f^′（x）＜0
∴f(x)在(0，

)和(1，+∞)上是增函数，在(

，1)上是减函数，
∴f(x)_极大值=f(

)=-

-ln2，f(x)_极小值=f（1）=-2
f′（x）=

+x²-a=

2x²-ax+1

（x＞0），
（2）由条件可得lnx-x²-ax≤0（x＞0），
则当x＞0时，a≥

lnx

-x恒成立，
令h（x）=

lnx

-x（x＞0），则h′（x）=

1-x²-lnx

，
令k（x）=1-x²-lnx（x＞0），
则当x＞0时，k′（x）=-2x-

＜0，所以k（x）在（0，+∞）上为减函数．
又k′（1）=0，
所以在（0，1）上，h′（x）＞0；在（1，+∞）上，h′（x）＜0．
所以h（x）在（0，1）上为增函数；在（1，+∞）上为减函数．
所以h（x）_max=h（1）=-1，所以a≥-1

标签