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  • 已知函数f（x）=lnx+x2+mx．（Ⅰ）当m=-3时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若函数f（x）在定义域内为增函数，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若m=-1，△ABC的三个顶点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在函数f（x）的图象上，且x1＜x2＜x3，a、b、c分别为△ABC的内角A、B、C所对的边．求证：a2+c2＜b2．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=lnx+x2+mx．
      （Ⅰ）当m=-3时，求函数f（x）的极值；
      （Ⅱ）若函数f（x）在定义域内为增函数，求实数m的取值范围；
      （Ⅲ）若m=-1，△ABC的三个顶点A（x      1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在函数f（x）的图象上，且x1＜x2＜x3，a、b、c分别为△ABC的内角A、B、C所对的边．求证：a2+c2＜b2．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx+x2+mx，定义域为（0，+∞），
      ∴f，（x）=
      1
      x
      +2x+m；
      当m=-3时，f，（x）=
      1
      x
      +2x+3，
      令f，（x）=0，∴
      2x2-3x+1
      x
      =0，即
      (2x-1)(x-1)
      x
      =0，解得x=
      1
      2
      或x=1；
      则f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：

      ∴f（x）      极大值=f（
      1
      2
      ）=-ln2-
      5
      4
      ，f（x）极小值=f（1）=-2；
      （Ⅱ）函数f（x）在定义域内为增函数，∴x＞0时，f，（x）=
      1
      x
      +2x+m≥0恒成立，
      ∴m≥-（
      1
      x
      +2x）（其中x＞0）恒成立；
      ∵x＞0，∴
      1
      x
      +2x≥2
      √2
      （当且仅当x=
      √2
      2
      时取等号），
      ∴-      (
      1
      x
      +2x)max=-2
      √2
      ，∴m≥-2
      √2
      ；
      ∴实数m的取值范围是[-2
      √2
      ，+∞）；
      （Ⅲ）由（Ⅱ）知m=-1时，f（x）在（0，+∞）上为增函数，
      △ABC的顶点A（x      1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在函数f（x）的图象上，
      且x      1＜x2＜x3，∴y1＜y2＜y3；
      ∴a      2=|BC|2=(x3-x2)2+(y3-y2)2，
      c      2=|AB|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2，
      b      2=|AC|2=(x3-x1)2+(y3-y1)2=[(x3-x2)+(x2-x1)]2+[(y3-y2)+(y2-y1)]2
      =(x      3-x2)2+(x2-x1)2+(y3-y2)2+(y2-y1)2+2[(x3-x2)(x2-x1)+(y3-y2)(y2-y1)]；
      ∴a      2+c2＜b2
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