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  • 已知对任意正整数n，函数fn(x)=x-ax-2nlnx恒存在极小值an（a＞0），（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）求an并判断数列{an}的单调性；（Ⅲ）是否存在m∈N*，使am＞0，若存在，求m的值；若不存在，说明理由．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知对任意正整数n，函数fn(x)=x-
      a
      x
      -2nlnx恒存在极小值an（a＞0），
      （Ⅰ）求实数a的取值范围；
      （Ⅱ）求a      n并判断数列{an}的单调性；
      （Ⅲ）是否存在m∈N      *，使am＞0，若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）fn′(x)=1+
      a
      x2
      -
      2n
      x
      =
      x2-2nx+a
      x2

      由条件得：方程x      2-2nx+a=0必有两根，
      ∵两根之和为2n＞0，两根之积为a＞0
      ∴两根必为正根
      则△=4n      2-4a＞0，
      得a＜n      2，对一切正整数n都成立
      所以，a的取值范围是0＜a＜1．
      （Ⅱ）为      x1，2=n±
      √n2-a
      函数的极小值an=f(n+
      √n2-a
      )=n+
      √n2-a
      -
      a
      n+
      √n2-a
      -2nln(n+
      √n2-a
      )=2
      √n2-a
      -2nln(n+
      √n2-a
      )
      设g(x)=2
      √x2-a
      -2xln(x+
      √x2-a
      )，（x≥1），则g′(x)=
      2x
      √x2-a
      -2ln(x+
      √x2-a
      )-
      2x
      x+
      √x2-a
      (1+
      2x
      2
      √x2-a
      )=
      2x
      √x2-a
      -2ln(x+
      √x2-a
      )-
      2x
      √x2-a
      =-2ln(x+
      √x2-a
      )
      因为x≥1，所以ln(x+
      √x2-a
      )＞0，得g'（x）＜0，
      所以g（x）在[1，+∞）上单调递减，故{a      n}是递减数列．
      （Ⅲ）假设存在m∈N      *，使am＞0，
      由（Ⅱ）知{a      n}是递减数列，先考虑第一项a1=2
      √1-a
      -2ln(1+
      √1-a
      )
      令t=
      √1-a
      ，则t∈（0，1），a1=φ（t）=2t-2ln（1+t），则φ′(t)=2-
      2
      1+t
      ＞0，φ（t）单调递增，φ（t）＞φ（0）=0，所以a1＞0；
      再考虑第二项      a2=2
      √4-a
      -4ln(2+
      √4-a
      )
      令u=
      √4-a
      ，则u∈(
      √3
      ，2)，a2=h（u）=2u-4ln（2+u），则h′(u)=2-
      4
      2+u
      =
      2u
      2+u
      ＞0h（u）单调递增，h（u）＜h（2）=4-4ln4＜0，所以a2＜0，
      故存在m=1符合题意．
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