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  • 设f1（x）=sinx，定义fn+1（x）=为fn（x）的导数，即fn+1（x）=f′n（x），n∈N*若△ABC的内角A满足f1(A)+f2(A)+…+f2014(A)=√22，则tanA的值是 ．试题及答案-填空题-云返教育

      • 试题详情

      设f1（x）=sinx，定义fn+1（x）=为fn（x）的导数，即fn+1（x）=f′n（x），n∈N*若△ABC的内角A满足f1(A)+f2(A)+…+f2014(A)=
      √2
      2
      ，则tanA的值是          ．

      试题解答

      -(2+
      √3
      )．
      解：∵f1（x）=sinx，fn+1（x）=f′n（x），
      ∴f      2（x）=f′1（x）=cosx，
      f      3（x）=f′2（x）=-sinx，
      f      4（x）=f'3（x）=-cosx，
      f      5（x）=f′4（x）=sinx，
      f      6（x）=f′5（x）=cosx，
      ∴f      n+1（x）=f′n（x），具备周期性，周期性为4．
      且f      1（x）+f2（x）+f3（x）+f4（x）=cosx-sinx+sinx-cosx=0，
      ∵      f1(A)+f2(A)+…+f2014(A)=
      √2
      2
      ，
      ∴f      1（A）+f2（A）=
      √2
      2
      ，
      即sinA+cosA=
      √2
      2
      ，
      ∴
      √2
      sin?(A+
      π
      4
      )=
      √2
      2
      ，
      即sin（A+
      π
      4
      ）=
      1
      2
      ，
      ∵A是△ABC的内角，
      ∴A+
      π
      4
      =
      5π
      6
      ，
      解得A=
      5π
      6
      -
      π
      4
      =
      7
      12
      π．
      ∴tanA=tan?(
      5π
      6
      -
      π
      4
      )=
      tan?
      5π
      6
      -tan?
      π
      4
      1+tan?
      5π
      6
      tan?
      π
      4
      =
      -
      √3
      3
      -1
      1-
      √3
      3
      =-(2+
      √3
      )．
      故答案为：-(2+
      √3
      )．
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      填空题

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