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设f1(x)=sinx,定义fn+1(x)=为fn(x)的导数,即fn+1(x)=f′n(x),n∈N*若△ABC的内角A满足f1(A)+f2(A)+…+f2014(A)=√22,则tanA的值是 .试题及答案-填空题-云返教育
试题详情
设f
1
(x)=sinx,定义f
n+1
(x)=为f
n
(x)的导数,即f
n+1
(x)=f′
n
(x),n∈N
*
若△ABC的内角A满足
f
1
(A)+f
2
(A)+…+f
2014
(A)=
√
2
2
,则tanA的值是
.
试题解答
-(2+
√
3
)
.
解:∵f
1
(x)=sinx,f
n+1
(x)=f′
n
(x),
∴f
2
(x)=f′
1
(x)=cosx,
f
3
(x)=f′
2
(x)=-sinx,
f
4
(x)=f'
3
(x)=-cosx,
f
5
(x)=f′
4
(x)=sinx,
f
6
(x)=f′
5
(x)=cosx,
∴f
n+1
(x)=f′
n
(x),具备周期性,周期性为4.
且f
1
(x)+f
2
(x)+f
3
(x)+f
4
(x)=cosx-sinx+sinx-cosx=0,
∵
f
1
(A)+f
2
(A)+…+f
2014
(A)=
√
2
2
,
∴f
1
(A)+f
2
(A)=
√
2
2
,
即sinA+cosA=
√
2
2
,
∴
√
2
sin?(A+
π
4
)=
√
2
2
,
即sin(A+
π
4
)=
1
2
,
∵A是△ABC的内角,
∴A+
π
4
=
5π
6
,
解得A=
5π
6
-
π
4
=
7
12
π.
∴tanA=tan?(
5π
6
-
π
4
)=
tan?
5π
6
-tan?
π
4
1+tan?
5π
6
tan?
π
4
=
-
√
3
3
-1
1-
√
3
3
=-(2+
√
3
).
故答案为:-(2+
√
3
).
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填空题
导数的运算
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