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  • 已知函数f（x）=kx，（k≠0）且满足f（x+1）?f（x）=x2+x，函数g（x）=ax，（a＞0且a≠1）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数f（x）为R上的增函数，h(x)=f(x)+1f(x)-1(f(x)≠1)，问是否存在实数m使得h（x）的定义域和值域都为[m，m+1]？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）已知关于x的方程g（2x+1）=f（x+1）?f（x）恰有一实数解为x0，且x0∈(14，12)求实数a的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=kx，（k≠0）且满足f（x+1）?f（x）=x2+x，函数g（x）=ax，（a＞0且a≠1）．
      （Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
      （Ⅱ）若函数f（x）为R上的增函数，h(x)=
      f(x)+1
      f(x)-1
      (f(x)≠1)，问是否存在实数m使得h（x）的定义域和值域都为[m，m+1]？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；
      （Ⅲ）已知关于x的方程g（2x+1）=f（x+1）?f（x）恰有一实数解为x      0，且x0∈(
      1
      4
      ，
      1
      2
      )求实数a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（I）∵f（x）=kx，
      ∴f（x）=k（x+1）
      ∴f（x+1）?f（x）=k      2（x+1）x=x2+x
      解得k=±1
      ∴f（x）=x或f（x）=-x
      （II）若函数f（x）为R上的增函数，则f（x）=x
      则h(x)=
      f(x)+1
      f(x)-1
      =
      x+1
      x-1
      =1+
      2
      x-1
      ，（x≠1）
      当x＜1或x＞1时，函数h（x）均为减函数，若h（x）的定义域和值域都为[m，m+1]
      则
      {
      h(m)=m+1
      h(m+1)=m

      即
      {
      m+1
      m-1
      =m+1
      (m+1)+1
      (m+1)-1
      =m

      解得：m=-1或m=2
      （III）∵关于x的方程g（2x+1）=f（x+1）?f（x）恰有一实数解为x      0，且x0∈(
      1
      4
      ，
      1
      2
      )
      ∴函数y=a      2x+1的图象与函数y=x2+x的图象在有且只有一个交点，且交点横坐标在区间(
      1
      4
      ，
      1
      2
      )上，
      故
      {
      0＜a＜1
      a2×
      1
      4
      +1      ＞(
      1
      4
      )2+
      1
      4
      a2×
      1
      2
      +1      ＜(
      1
      2
      )2+
      1
      2

      解得(
      5
      16
      )
      2
      3
      ＜a＜
      √3
      2
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      必修1人教A版解答题高中数学

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