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  • 定义：两个连续函数（图象不间断）f（x）、g（x）在区间[a，b]上都有意义，则称函数|f（x）+g（x）|在[a，b]上的最大值叫做函数f（x）与g（x）在区间[a，b]上的“绝对和”．已知函数f（x）=x3，g（x）=x3-3ax2+2．（Ⅰ）若函数y=g（x）在点P（1，g（1））处的切线与直线y=x+2平行，求a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下求汉顺f（x）与g（x）在区间[0，2]上的“绝对值”（Ⅲ）记f（x）与g（x）在区间[0，2]上的“绝对和”为h(a)，a＞32，且h（a）=2，试求a的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      定义：两个连续函数（图象不间断）f（x）、g（x）在区间[a，b]上都有意义，则称函数|f（x）+g（x）|在[a，b]上的最大值叫做函数f（x）与g（x）在区间[a，b]上的“绝对和”．已知函数f（x）=x3，g（x）=x3-3ax2+2．
      （Ⅰ）若函数y=g（x）在点P（1，g（1））处的切线与直线y=x+2平行，求a的值；
      （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下求汉顺f（x）与g（x）在区间[0，2]上的“绝对值”
      （Ⅲ）记f（x）与g（x）在区间[0，2]上的“绝对和”为h(a)，a＞
      3
      2
      ，且h（a）=2，试求a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）∵g′（x）=3x2-6ax，g（x）地点（1，g（1））处的切线与直线y=x+2平行，
      ∴g′（1）=3-6a=1，a=
      1
      3

      （Ⅱ）m（x）=2x      3-x2+2，m′（x）=6x2-2x=6x（x-
      1
      3
      ）由m′（x）=6x2-2x=6x（x-
      1
      3
      ）＞0，得x＜0或x＞
      1
      3

      由m′（x）=6x      2-2x=6x（x-
      1
      3
      ）＜0，得0＜x＜
      1
      3

      又∵x∈[0，2]
      |m（2）|＞|m（0）|＞|m（
      1
      3
      ）|
      ∴f（x）与g（x）在区间[0，2]上的“绝对和”为12
      （Ⅲ）记m（x）=f（x）+g（x），则m（x）=2x      3-3ax2+2
      m′（x）=6x（x-a）
      ∵a＞
      3
      2
      ＞0
      ∴由m（x）=6x（x-a）＞0得x＞a或x＜0
      由m（x）=6x（x-a）＜0得0＜x＜a
      又∵x∈[0，2]，且a＞
      3
      2

      （1）当
      3
      2
      ＜a＜2时，m（x）在[0，a]上单调递减，在[a，2]上单调递增．
      又∵m（0）=2，m（a）=2-a      2＜0，则|m（2）|＜|m（a）|
      此时有|m（0）|-|m（a）|=4-a2≥0，解得a≤
      3√4

      ∴（i）当
      3
      2
      ＜a＜
      3√4
      ，|m（0）|＞|m（a）|
      故“绝对和”为h（a）=m（0）=2
      （ii）当
      3√4
      ＜a＜2，|m（0）|＜|m（a）|
      故“绝对值和”为h（a）=m（a）=a      2-2
      （2）a≥2，m（x）在x∈[0，2]上单调递减，
      |m（2）|＞|m（0）|，
      故“绝对和”为h（a）=m（2）=12a-18≥6＞2
      由（1）（2）得a的取值范围是
      3
      2
      ＜a＜
      3√4
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