• 定义:两个连续函数(图象不间断)f(x)、g(x)在区间[a,b]上都有意义,则称函数|f(x)+g(x)|在[a,b]上的最大值叫做函数f(x)与g(x)在区间[a,b]上的“绝对和”.已知函数f(x)=x3,g(x)=x3-3ax2+2.(Ⅰ)若函数y=g(x)在点P(1,g(1))处的切线与直线y=x+2平行,求a的值;(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下求汉顺f(x)与g(x)在区间[0,2]上的“绝对值”(Ⅲ)记f(x)与g(x)在区间[0,2]上的“绝对和”为h(a),a>32,且h(a)=2,试求a的取值范围.试题及答案-解答题-云返教育

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      定义:两个连续函数(图象不间断)f(x)、g(x)在区间[a,b]上都有意义,则称函数|f(x)+g(x)|在[a,b]上的最大值叫做函数f(x)与g(x)在区间[a,b]上的“绝对和”.已知函数f(x)=x3,g(x)=x3-3ax2+2.
      (Ⅰ)若函数y=g(x)在点P(1,g(1))处的切线与直线y=x+2平行,求a的值;
      (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下求汉顺f(x)与g(x)在区间[0,2]上的“绝对值”
      (Ⅲ)记f(x)与g(x)在区间[0,2]上的“绝对和”为h(a),a>
      3
      2
      ,且h(a)=2,试求a的取值范围.

      试题解答


      见解析
      解:(Ⅰ)∵g′(x)=3x2-6ax,g(x)地点(1,g(1))处的切线与直线y=x+2平行,
      ∴g′(1)=3-6a=1,a=
      1
      3

      (Ⅱ)m(x)=2x
      3-x2+2,m′(x)=6x2-2x=6x(x-
      1
      3
      )由m′(x)=6x2-2x=6x(x-
      1
      3
      )>0,得x<0或x>
      1
      3

      由m′(x)=6x
      2-2x=6x(x-
      1
      3
      )<0,得0<x<
      1
      3

      又∵x∈[0,2]
      |m(2)|>|m(0)|>|m(
      1
      3
      )|
      ∴f(x)与g(x)在区间[0,2]上的“绝对和”为12
      (Ⅲ)记m(x)=f(x)+g(x),则m(x)=2x
      3-3ax2+2
      m′(x)=6x(x-a)
      ∵a>
      3
      2
      >0
      ∴由m(x)=6x(x-a)>0得x>a或x<0
      由m(x)=6x(x-a)<0得0<x<a
      又∵x∈[0,2],且a>
      3
      2

      (1)当
      3
      2
      <a<2时,m(x)在[0,a]上单调递减,在[a,2]上单调递增.
      又∵m(0)=2,m(a)=2-a
      2<0,则|m(2)|<|m(a)|
      此时有|m(0)|-|m(a)|=4-a2≥0,解得a≤
      34

      ∴(i)当
      3
      2
      <a<
      34
      ,|m(0)|>|m(a)|
      故“绝对和”为h(a)=m(0)=2
      (ii)当
      34
      <a<2,|m(0)|<|m(a)|
      故“绝对值和”为h(a)=m(a)=a
      2-2
      (2)a≥2,m(x)在x∈[0,2]上单调递减,
      |m(2)|>|m(0)|,
      故“绝对和”为h(a)=m(2)=12a-18≥6>2
      由(1)(2)得a的取值范围是
      3
      2
      <a<
      34

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