• 已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)={2|x-1|-1,0<x≤212f(x-2),x>2则关于x的方程6[f(x)]2-f(x)-1=0的实数根个数为( )试题及答案-单选题-云返教育

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      已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=
      {
      2|x-1|-1,0<x≤2
      1
      2
      f(x-2),x>2
      则关于x的方程6[f(x)]2-f(x)-1=0的实数根个数为(  )

      试题解答


      B
      解:设t=f(x),则关于x的方程6[f(x)]2-f(x)-1=0,等价6t2-t-1=0,
      解得t=
      1
      2
      或t=-
      1
      3

      当x=0时,f(0)=0,此时不满足方程.
      若2<x≤4,则0<x-2≤2,即f(x)=
      1
      2
      f(x-2)=
      1
      2
      (2|x-3|-1),
      若4<x≤6,则2<x-2≤4,即f(x)=
      1
      2
      f(x-2)=
      1
      4
      (2|x-5|-1),
      作出当x>0时,f(x)=
      {
      2|x-1|-1,0<x≤2
      1
      2
      f(x-2),x>2
      的图象如图:
      当t=
      1
      2
      时,f(x)=
      1
      2
      对应3个交点.
      ∵函数f(x)是奇函数,
      ∴当x<0时,由f(x)=-
      1
      3

      可得当x>0时,f(x)=
      1
      3
      ,此时函数图象对应4个交点,
      综上共有7个交点,即方程有7个根.
      故选:B
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