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  • 已知函数f（x）=ax2+bx+c，且f(1)=-a2，3a＞2c＞2b．（1）求证：a＞0且-3＜ba＜-34；（2）求证：函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；（3）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，求|x1-x2|的范围．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=ax2+bx+c，且f(1)=-
      a
      2
      ，3a＞2c＞2b．
      （1）求证：a＞0且-3＜
      b
      a
      ＜-
      3
      4
      ；
      （2）求证：函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；
      （3）设x      1，x2是函数f（x）的两个零点，求|x1-x2|的范围．

      试题解答

      见解析
      （1）证明：∵f（1）=a+b+c=-
      a
      2
      ，∴c=-
      3
      2
      a-b
      ∴3a＞2c=-3a-2b，∴3a＞-b，
      ∵2c＞2b，∴-3a＞4b；
      若a＞0，则-3＜
      b
      a
      ＜-
      3
      4
      ；若a=0，则0＞-b，0＞b，不成立；若a＜0，则-
      3
      4
      ＜
      b
      a
      ＜-3，不成立．
      （2）f（0）=c，f（2）=4a+2b+c，f（1）=-
      a
      2
      ，△=b2-4ac=b2+4ab+6a2＞0
      ①当c＞0时，f（0）＞0，f（1）＜0，所以f（x）在（0，1）上至少有一个零点
      ②当c=0时，f（0）=0，f（2）=4a+2b=a＞0，所以f（x）在（0，2）上有一个零点
      ③当c＜0时，f（0）＜0，f（1）＜0，b=-
      3
      2
      a-c，f（2）=4a-3a-2c+c=a-c＞0，所以f（x）在（0，2）上有一个零点
      综上：所以f（x）在（0，2）上至少有一个零点．
      （3）c=-
      3
      2
      a-b，（|x1-x2|）2=（x1+x2）2-4x1x2=b2-4ac
      |a|=（
      b
      a
      +2）2+2
      因为-3＜b/a＜-
      3
      4
      ，所以（|x1-x2|）2∈[2，
      57
      16
      ）
      所以|x      1-x2|∈[
      √2
      ，
      √57
      4
      ）
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      必修1人教A版解答题高中数学

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