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  • 设f（x）=3ax2+2bx+c．若a+b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0，求证：（Ⅰ）a＞0且-2＜ba＜-1；（Ⅱ）方程f（x）=0在（0，1）内有两个实根．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设f（x）=3ax2+2bx+c．若a+b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0，求证：
      （Ⅰ）a＞0且-2＜
      b
      a
      ＜-1；
      （Ⅱ）方程f（x）=0在（0，1）内有两个实根．

      试题解答

      见解析
      解：证明：（I）因为f（0）＞0，f（1）＞0，
      所以c＞0，3a+2b+c＞0．
      由条件a+b+c=0，消去b，得a＞c＞0；
      由条件a+b+c=0，消去c，得a+b＜0，2a+b＞0．
      故-2＜
      b
      a
      ＜-1．
      （II）抛物线f（x）=3ax      2+2bx+c的顶点坐标为(-
      b
      3a
      ，
      3ac-b2
      3a
      )，
      在-2＜
      b
      a
      ＜-1的两边乘以-
      1
      3
      ，得
      1
      3
      ＜-
      b
      3a
      ＜
      2
      3
      ．
      又因为f（0）＞0，f（1）＞0，
      而f(-
      b
      3a
      )=-
      a2+c2-ac
      3a
      ＜0，
      所以方程f（x）=0在区间(0，-
      b
      3a
      )与(-
      b
      3a
      ，1)内分别有一实根．
      故方程f（x）=0在（0，1）内有两个实根．
      标签
      必修1人教A版单选题高中数学

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