已知函数f（x）=ax2+4x+b，（a＜0，b＜0，a，b∈Z），设关于x的方程f（x）=x的两实数根为α，β，且|α-β|=1．（1）求函数f（x）的解析式；（2）问是否存在实数m，n（m＜n），使得f（x）的定义域和值域都是[m，n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=ax²+4x+b，（a＜0，b＜0，a，b∈Z），设关于x的方程f（x）=x的两实数根为α，β，且|α-β|=1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）问是否存在实数m，n（m＜n），使得f（x）的定义域和值域都是[m，n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．

试题解答

见解析

解：（1）由于α，β方程为f（x）=x即ax²+3x+b=0的两实数根，
∴

{

α+β=-

αβ=

|α-β|=1

∴a²+4ab-9=0；
∵a、b均为负整数，a²+4ab-9=0，
∴a（a+4b）=9，解得a=-1，b=-2．
∴f（x）=-x²+4x-2；
（2）假设存在实数m，n满足题意，
由题意得f（x）=-x²+4x-2=-（x-2）²+2，
∵函数f（x）的值域为[m，n]，∴m＜n≤2，
则区间[m，n]在对称轴x=2的左边，
∴函数f（x）在[m，n]单调递增，
∴

{	f(m)=m f(n)=n

，即

{	-(m-2)²+2=m -(n-2)²+2=n

，
解得

{

m=1

n=2

，
故存在m=1，n=2满足题意．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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