对于函数f（x），若存在x0∈R，使得f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），满足{f(0)≥1f(1+sinα)≤1(α∈R)，且f（x）有两个不动点x1，x2，记函数f（x）的对称轴为x=x0，求证：如果x1＜2＜x2＜4，那么x0＞-1．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

对于函数f（x），若存在x₀∈R，使得f（x₀）=x₀成立，则称x₀为f（x）的不动点．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0），满足

{	f(0)≥1 f(1+sinα)≤1(α∈R)

，且f（x）有两个不动点x₁，x₂，记函数f（x）的对称轴为x=x₀，求证：如果x₁＜2＜x₂＜4，那么x₀＞-1．

见解析

证明：二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0），满足

{	f(0)≥1 f(1+sinα)≤1(α∈R)

，
∴

{	f(0)≥1 f(0)≤1

，即f（0）=1，
∴f（x）=ax²+bx+1，
设g（x）=f（x）-x=ax²+（b-1）x+1，
∵a＞0，
∴由条件x₁＜2＜x₂＜4，
得g（2）＜0，g（4）＞0．
即

{	4a+2b-1＜0 16a+4b-3＞0

，

由可行域可得

＜2，
∴x₀=-

＞-1．

标签