设函数f（x）=a2lnx-x2+ax+b，已知a是正实数，若存在实数b，使得e≤f（x）≤e2+1对x∈[1，e]恒成立，试求a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

设函数f（x）=a²lnx-x²+ax+b，已知a是正实数，若存在实数b，使得e≤f（x）≤e²+1对x∈[1，e]恒成立，试求a的取值范围．

见解析

解：∵f（x）=a²lnx-x²+ax+b，
∴f′（x）=a²?

-2x+a，
∴f″（x）=-a²?

x²

-2，
当x＞0时，f″（x）＜0恒成立，
故函数f（x）为凸函数，
若存在实数b，使得e≤f（x）≤e²+1对x∈[1，e]恒成立，
只需

{	e≤f(1)≤e²+1 e≤f(e)≤e²+1

即

{	e≤a+b-1≤e²+1 e≤a²-e²+ae+b≤e²+1

即

{	b≥-a+e+1 b≤-a+e²+2 b≥-a²-ea+e²+e b≤-a²-ea+2e²+1

满足约束条件的可行域如下图所示：

由

{	b=-a+e²+2 b=-a²-ea+e²+e

得a=

-e+1+

√e²+2e-7

，或a=

-e+1-

√e²+2e-7

故M点的坐标为（

-e+1+

√e²+2e-7

，0），
由

{	b=-a+e+1 b=-a²-ea+2e²+1

得a=e，或a=1-2e
故N点的坐标为N（e，0）
所以a的取值范围：

-e+1+

√e²+2e-7

≤a≤e

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