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  • 已知函数f（x）=ax2+bx-lnx，a，b∈R．（1）若a＜0且b=2-a，试讨论f（x）的单调性；（2）若对?b∈[-2，-1]，总?x∈（1，e）使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=ax2+bx-lnx，a，b∈R．
      （1）若a＜0且b=2-a，试讨论f（x）的单调性；
      （2）若对?b∈[-2，-1]，总?x∈（1，e）使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）f′(x)=2ax+(2-a)-
      1
      x
      =
      2ax2+(2-a)x-1
      x
      =
      (ax+1)(2x-1)
      x
      （x∈（0，+∞）），
      令f′（x）=0，解得 x=-
      1
      a
      或x=
      1
      2

      ①当-
      1
      a
      ＜
      1
      2
      ，即a＜-2时，
      令f′（x）＞0，解得-
      1
      a
      ＜x＜
      1
      2
      ，
      故f（x）的增区间为(-
      1
      a
      ，
      1
      2
      )，减区间为(0，-
      1
      a
      )，(
      1
      2
      ，+∞)；
      ②当-
      1
      a
      =
      1
      2
      ，即a=-2时，则f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
      故f（x）在（0，+∞）上单调递减；
      ③当-
      1
      a
      ＞
      1
      2
      ，即a＞-2时，
      令f′（x）＞0，解得
      1
      2
      ＜x＜-
      1
      a
      ，
      故f（x）的增区间为(
      1
      2
      ，-
      1
      a
      )，减区间为(0，
      1
      2
      )，(-
      1
      a
      ，+∞)；
      （2）对?b∈[-2，-1]，都?x∈（1，e）ax      2+bx-lnx＜0成立，
      即ax      2-x-lnx＜0在（1，e）内有解，亦即a＜
      lnx+x
      x2
      在（1，e）内有解，
      故只需a＜(
      lnx+x
      x2
      )max即可，
      令g(x)=
      lnx+x
      x2
      ，则g′(x)=
      -x(x-1+2lnx)
      x4

      ∵x∈（1，e）∴g′（x）＜0
      ∴a＜g（1）=1．
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