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  • 已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R，a≠0），f（-2）=f（0）=0，f（x）的最小值为-1．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设g（x）=f（-x）-mx+1，若g（x）在[-1，1]上是单调函数，求实数m的取值范围；（3）设h（x）=f（x）-nx+2，若h（x）在[-1，1]上的最小值是1，求实数n的值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R，a≠0），f（-2）=f（0）=0，f（x）的最小值为-1．
      （1）求函数f（x）的解析式；
      （2）设g（x）=f（-x）-mx+1，若g（x）在[-1，1]上是单调函数，求实数m的取值范围；
      （3）设h（x）=f（x）-nx+2，若h（x）在[-1，1]上的最小值是1，求实数n的值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由于二次函数f（x）=ax2+bx+c满足f（-2）=f（0）=0，f（x）的最小值为-1，
      则f（-1）=-1，
      故实数a，b，c满足的关系式为
      {
      4a+2b+c=0
      c=0 a+b+c=-1
      ，
      解得a=1，b=-2，c=0．
      故这个二次函数的表达式为y=x      2-2x．
      （2）设g（x）=f（-x）-mx+1，则g（x）=（-x）      2-2（-x）-mx+1=x2+（2-m）x+1，
      可得函数g（x）的对称轴为x=-
      2-m
      2
      ，
      由于g（x）在[-1，1]上是单调函数，
      则-
      2-m
      2
      ≤-1或-
      2-m
      2
      ≥1，解得 m≤0或m≥4，
      故实数m的取值范围为（-∞，0]∪[4，+∞）．
      （3）设h（x）=f（x）-nx+2，则h（x）=x      2-2x-nx+2=x2-（2+n）x+2，
      可得函数h（x）的对称轴为x=1+
      n
      2
      ，
      ①当n≥0时，则1+
      n
      2
      ≥1，故函数h（x）=x2-（2+n）x+2在区间[-1，1]上为减函数，
      则h（x）      min=h（1）=1-（2+n）+2=1-n=1，解得n=0；
      ②当n≤-4时，则1+
      n
      2
      ≤-1，故函数h（x）=x2-（2+n）x+2在区间[-1，1]上为增函数，
      则h（x）      min=h（-1）=1+（2+n）+2=5+n=1，解得n=-4；
      ③当-4＜n＜0时，则-1＜1+
      n
      2
      ＜1，故函数h（x）=x2-（2+n）x+2在区间[-1，1+
      n
      2
      ]上为减函数，
      在区间[1+
      n
      2
      ，1]上为增函数，
      则h（x）      min=h（1+
      n
      2
      ）=（1+
      n
      2
      ）2-（2+n）（1+
      n
      2
      ）+2=1，
      解得n=0或n=-4，故当-4＜n＜0时，n无解；
      综上可知，实数n的值为0或4．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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