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  • 已知函数f（x）满足2f（x）+f（1x）=x（1）求f（1）的值；（2）求f（x）的解析式；（3）若g（x）=3f（x）+ax，且g（x）在区间（0，2]上为减函数，求实数的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）满足2f（x）+f（
      1
      x
      ）=x
      （1）求f（1）的值；
      （2）求f（x）的解析式；
      （3）若g（x）=3f（x）+
      a
      x
      ，且g（x）在区间（0，2]上为减函数，求实数的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）令x=1得 2f（1）+f（1）=1，∴f（1）=
      1
      3
      ．
      （2）∵2f（x）+f（
      1
      x
      ）=x，用
      1
      x
      替换得 f（x）+2f（
      1
      x
      ）=x???解得f（x）=
      2x2-1
      3x
      ．
      （3）g（x）=3f（x）+
      a
      x
      =
      2x2-1
      x
      +
      a
      x
      =2x+
      a-1
      x
      ，∴g′（x）=2-
      a-1
      x2
      ，
      ∵g（x）在区间（0，2]上为减函数，∴g′（x）≤0 在区间（0，2]上恒成立，即 2-
      a-1
      x2
      ≤0，
      ∴a≥2x      2+1 而 x∈（0，2]，则 2x2+1∈（0，9]，∴a≥9，
      ∴实数的取值范围为[0，9）．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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