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  • 已知函数f(x)=x2+(a+1)x+ax(x＞0，a是大于零的常数)．（1）求证：b≤(√a+1)2是f（x）≥b的充要条件；（2）若x∈（0，1]时，f（x）≥b恒成立，求b的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=
      x2+(a+1)x+a
      x
      (x＞0，a是大于零的常数)．
      （1）求证：b≤(
      √a
      +1)2是f（x）≥b的充要条件；
      （2）若x∈（0，1]时，f（x）≥b恒成立，求b的取值范围．

      试题解答

      见解析
      （1）证明：由题意，f(x)=
      x2+(a+1)x+a
      x
      =x+
      a
      x
      +(a+1)≥2
      √a
      +a+1=(
      √a
      +1)2
      当且仅当x=
      √a
      时，函数取得最小值．
      要使f（x）≥b，即使b≤(
      √a
      +1)2，故得证；
      （2）当0＜a≤1时，函数的最小值为      (
      √a
      +1)2，f（x）≥b恒成立，则使b≤(
      √a
      +1)2；
      当a＞1时，函数的最小值为2a+2，f（x）≥b恒成立，则使b≤2a+2
      ∴当0＜a≤1时，b≤(
      √a
      +1)2；当a＞1时，b≤2a+2．
      标签
      必修1人教A版单选题高中数学

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