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  • 对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a?f1（x）+b?f2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数．（1）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f1（x），f2（x）的生成函数？并说明理由； 第一组：f1（x）=x+1，f2（x）=2x，h（x）=5x+1； 第二组：f1（x）=x2-x，f2（x）=x2+x+1，h（x）=x2-x+1；（2）设f1（x）=2x，f2（x）=（12）x，a=1，b=-1，生成函数h（x）．若不等式3h2（x）+2h（x）+t＜0在x∈[1，2]上有解，求实数t的取值范围；（3）设f1（x）=x，f2（x）=1x（1≤x≤10），取a=1，b＞0，生成函数h（x）使h（x）≥b恒成立，求b的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a?f1（x）+b?f2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数．
      （1）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f      1（x），f2（x）的生成函数？并说明理由；
      第一组：f      1（x）=x+1，f2（x）=2x，h（x）=5x+1；
      第二组：f      1（x）=x2-x，f2（x）=x2+x+1，h（x）=x2-x+1；
      （2）设f      1（x）=2x，f2（x）=（
      1
      2
      ）x，a=1，b=-1，生成函数h（x）．若不等式3h2（x）+2h（x）+t＜0在x∈[1，2]上有解，求实数t的取值范围；
      （3）设f      1（x）=x，f2（x）=
      1
      x
      （1≤x≤10），取a=1，b＞0，生成函数h（x）使h（x）≥b恒成立，求b的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）第一组：f1（x）=x+1，f2（x）=2x，h（x）=5x+1；
      若h（x）=a?f      1（x）+b?f2（x），
      则5x+1=a?（x+1）+2bx=ax+2bx+a=（a+2b）x+a，
      则
      {
      a=1
      a+2b=5
      ，即
      {
      a=1
      b=2
      ，
      ∴h（x）是分别为f      1（x），f2（x）的生成函数．
      第二组：f      1（x）=x2-x，f2（x）=x2+x+1，h（x）=x2-x+1；
      若h（x）=a?f      1（x）+b?f2（x），
      则x      2-x+1=a?（x2-x）+b（x2+x+1）=（a+b）x2+（b-a）x+b，
      则
      {
      b=1
      b-a=-1
      a+b=1
      ，即
      {
      b=1
      a=2
      a=0
      ，此时方程无解，
      ∴h（x）不是为f      1（x），f2（x）的生成函数．
      （2）设f      1（x）=2x，f2（x）=（
      1
      2
      ）x，a=1，b=-1，生成函数h（x）．
      则h（x）=f      1（x）-f2（x）=2x-（
      1
      2
      ）x，
      则h（x）单调递增，
      ∴当x∈[1，2]时，h（1）≤h（x）≤h（2），
      即
      3
      2
      ≤h（x）≤
      15
      4
      ，
      设a=h（x），则
      3
      2
      ≤a≤
      15
      4
      ，
      若不等式3h      2（x）+2h（x）+t＜0在x∈[1，2]上有解，
      即等价为-t＞3a      2+2a，在
      3
      2
      ≤a≤
      15
      4
      有解，
      设g（a）=3a      2+2a，对称轴为a=-
      2
      2×3
      =-
      1
      3
      ，
      ∴g（a）在
      3
      2
      ≤a≤
      15
      4
      单调递增，
      ∴g（a）的最小值为g（
      3
      2
      ）=3×（
      3
      2
      ）2+2×
      3
      2
      =
      27
      4
      +3=
      39
      4
      ，
      ∴-t＞
      39
      4
      ，即t＜-
      39
      4

      ∴实数t的取值范围是t＜-
      39
      4
      ；
      （3）设f      1（x）=x，f2（x）=
      1
      x
      （1≤x≤10），取a=1，b＞0，
      则生成函数h（x）=x+
      b
      x
      ，
      若h（x）≥b恒成立，
      即x+
      b
      x
      ≥b，
      ∴x      2-bx+b≥0在1≤x≤10恒成立，
      即x      2-（x-1）b≥0，
      当x=1时，不等式为1≥0成立，
      当1＜x≤10时，不等式等价为b≤
      x2
      x-1
      ，
      ∵
      x2
      x-1
      =
      (x-1)2+2(x-1)+1
      x-1
      =(x-1)+
      1
      x-1
      +2，
      ∴当1＜x≤10时，
      x2
      x-1
      =(x-1)+
      1
      x-1
      +2≥2+2
      √(x-1)?
      1
      x-1
      =2+2=4，
      当且仅当x-1=
      1
      x-1
      ，即x=2时取等号，
      ∴b≤4，
      即b的取值范围是b≤4．
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