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  • 已知函数f(x)=x2+2x+alnx(x＞0)，（Ⅰ） 若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（Ⅱ）若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上的任意两个值x1、x2总有以下不等式12[f(x1)+f(x2)]≥f(x1+x22)成立，则称函数y=f（x）为区间D上的“凹函 数”．试证当a≤0时，f（x）为“凹函数”．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=x2+
      2
      x
      +alnx(x＞0)，
      （Ⅰ） 若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
      （Ⅱ）若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上的任意两个值x      1、x2总有以下不等式
      1
      2
      [f(x1)+f(x2)]≥f(
      x1+x2
      2
      )成立，则称函数y=f（x）为区间D上的“凹函 数”．试证当a≤0时，f（x）为“凹函数”．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）由f(x)=x2+
      2
      x
      +alnx，
      得      f′(x)=2x-
      2
      x2
      +
      a
      x
      …（2分）
      函数为[1，+∞）上单调函数．
      若函数为[1，+∞）上单调增函数，
      则f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
      即不等式2x-
      2
      x2
      +
      a
      x
      ≥0在[1，+∞）上恒成立．
      也即a≥
      2
      x
      -2x2在[1，+∞）上恒成立．…（3分）
      令φ(x)=
      2
      x
      -2x2，上述问题等价于a≥φ（x）max，
      而φ(x)=
      2
      x
      -2x2为在[1，+∞）上的减函数，
      则φ（x）      max=φ（1）=0，于是a≥0为所求．…（5分）
      （Ⅱ）证明：由f(x)=x      2+
      2
      x
      +alnx
      得
      f(x1)+f(x2)
      2
      =
      1
      2
      (x12+x22)+(
      1
      x1
      +
      1
      x2
      )+
      a
      2
      (lnx1+lnx2)
      =
      1
      2
      (x12+x22)+
      x1+x2
      x1x2
      +aln
      √x1x2
      f(
      x1+x2
      2
      )=(
      x1+x2
      2
      )2+
      4
      x1+x2
      +aln
      x1+x2
      2
      …（7分）
      而
      1
      2
      (x12+x22)≥
      1
      4
      [(x12+x22)+2x1x2]=(
      x1+x2
      2
      )2①…（9分）
      又（x      1+x2）2=（x12+x22）+2x1x2≥4x1x2，
      ∴
      x1+x2
      x1x2
      ≥
      4
      x1+x2
      ②…（10分）
      ∵
      √x1x2
      ≤
      x1+x2
      2
      ，
      ∴ln
      √x1x2
      ≤ln
      x1+x2
      2
      ，
      ∵a≤0
      ∴aln
      √x1x2
      ≥aln
      x1+x2
      2
      ③…（12分）
      由①、②、③得
      1
      2
      (x12+x22)+
      x1+x2
      x1x2
      +aln
      √x1x2
      ≥(
      x1+x2
      2
      )2+
      4
      x1+x2
      +aln
      √x1x2

      即
      f(x1)+f(x2)
      2
      ≥f(
      x1+x2
      2
      )，从而由凹函数的定义可知函数为凹函数．…（13分）
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