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  • 已知函数f（x）=ax2+4x-2，若对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有f(x1+x22)＜f(x1)+f(x2)2．（1）求实数a的取值范围；（2）对于给定的实数a，有一个最小的负数M（a），使得x∈[M（a），0]时，-4≤f（x）≤4都成立，则当a为何值时，M（a）最小，并求出M（a）的最小值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=ax2+4x-2，若对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有f(
      x1+x2
      2
      )＜
      f(x1)+f(x2)
      2
      ．
      （1）求实数a的取值范围；
      （2）对于给定的实数a，有一个最小的负数M（a），使得x∈[M（a），0]时，-4≤f（x）≤4都成立，则当a为何值时，M（a）最小，并求出M（a）的最小值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f(
      x1+x2
      2
      )-
      f(x1)+f(x2)
      2

      =a(
      x1+x2
      2
      )2+b(
      x1+x2
      2
      )+c-
      ax12+bx1+c+ax22+bx2+c
      2

      =-
      a
      4
      (x1-x2)2＜0，
      ∵x      1≠x2，∴a＞0．∴实数a的取值范围为（0，+∞）．
      （2）∵f(x)=ax      2+4x-2=a(x+
      2
      a
      )2-2-
      4
      a
      ，
      显然f（0）=-2，对称轴x=-
      2
      a
      ＜0．
      ①当-2-
      4
      a
      ＜-4，即0＜a＜2时，M(a)∈(-
      2
      a
      ，0)，且f[M（a）]=-4．
      令ax      2+4x-2=-4，解得x=
      -2±
      √4-2a
      a
      ，
      此时M（a）取较大的根，即M(a)=
      -2+
      √4-2a
      a
      =
      -2
      √4-2a
      +2
      ，
      ∵0＜a＜2，∴M(a)=
      -2
      √4-2a
      +2
      ＞-1．
      ②当-2-
      4
      a
      ≥-4，即a≥2时，M(a)＜-
      2
      a
      ，且f[M（a）]=4．
      令ax      2+4x-2=4，解得x=
      -2±
      √4+6a
      a
      ，
      此时M（a???取较小的根，即M(a)=
      -2-
      √4+6a
      a
      =
      -6
      √4+6a
      -2
      ，
      ∵a≥2，∴M(a)=
      -6
      √4+6a
      -2
      ≥-3．当且仅当a=2时，取等号．
      ∵-3＜-1∴当a=2时，M（a）取得最小值-3．
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