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  • 已知函数f(x)=1-x21+x+x2(x∈R)．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若（et+2）x2+etx+et-2≥0对满足|x|≤1的任意实数x恒成立，求实数t的取值范围（这里e是自然对数的底数）；（Ⅲ）求证：对任意正数a、b、λ、μ，恒有f[(λa+μbλ+μ)2]-f(λa2+μb2λ+μ)≥(λa+μbλ+μ)2-λa2+μb2λ+μ．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=
      1-x2
      1+x+x2
      (x∈R)．
      （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
      （Ⅱ）若（e      t+2）x2+etx+et-2≥0对满足|x|≤1的任意实数x恒成立，求实数t的取值范围（这里e是自然对数的底数）；
      （Ⅲ）求证：对任意正数a、b、λ、μ，恒有f[      (
      λa+μb
      λ+μ
      )2]-f(
      λa2+μb2
      λ+μ
      )≥(
      λa+μb
      λ+μ
      )2-
      λa2+μb2
      λ+μ
      ．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）f′(x)=
      -2x(1+x+x2)-(2x+1)(1-x2)
      (1+x+x2)2
      =
      -[x-(-2+
      √3
      )]?[x-(-2-
      √3
      )]
      (1+x+x2)2

      ∴f（x）的增区间为(-2-
      √3
      ，-2+
      √3
      )，f（x）减区间为(-∞，-2-
      √3
      )和(-2+
      √3
      ，+∞)．
      极大值为f(-2+
      √3
      )=
      2
      √3
      3
      ，极小值为f(-2-
      √3
      )=-
      2
      √3
      3
      ．…4分
      （Ⅱ）原不等式可化为      et≥
      2(1-x2)
      1+x+x2
      由（Ⅰ）知，|x|≤1时，f（x）的最大值为
      2
      √3
      3
      ．
      ∴
      2(1-x2)
      1+x+x2
      的最大值为
      4
      √3
      3
      ，由恒成立的意义知道et≥
      4
      √3
      3
      ，从而t≥ln
      4
      √3
      3
      …8分
      （Ⅲ）设g(x)=f(x)-x=
      1-x2
      1+x+x2
      -x(x＞0)
      则g′(x)=f′(x)-1=
      -(x2+4x+1)
      (1+x+x2)2
      -1=-
      x4+2x3+4x2+6x+2
      (1+x+x2)2
      ．
      ∴当x＞0时，g'（x）＜0，故g（x）在（0，+∞）上是减函数，
      又当a、b、λ、μ是正实数时，(
      λa+μb
      λ+μ
      )2-
      λa2+μb2
      λ+μ
      =-
      λμ(a-b)2
      (λ+μ)2
      ≤0
      ∴(
      λa+μb
      λ+μ
      )2≤
      λa2+μb2
      λ+μ
      ．
      由g（x）的单调性有：f[      (
      λa+μb
      λ+μ
      )2]-(
      λa+μb
      λ+μ
      )2≥f(
      λa2+μb2
      λ+μ
      )-
      λa2+μb2
      λ+μ
      ，
      即f[      (
      λa+μb
      λ+μ
      )2]-f(
      λa2+μb2
      λ+μ
      )≥(
      λa+μb
      λ+μ
      )2-
      λa2+μb2
      λ+μ
      ．…12分
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