已知a＞1，函数f（x）的图象与函数y=ax-1的图象关于直线y=x对称，g（x）=loga（x2-2x+2）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）在区间[m，n]（n＞m＞-1）上的值域为[logapm ， logapn]，求实数p的取值范围；（3）设函数F（x）=af（x）-g（x），若w≥F（x）对一切x∈（-1，+∞）恒成立，求实数w的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知a＞1，函数f（x）的图象与函数y=a^x-1的图象关于直线y=x对称，g（x）=log_a（x²-2x+2）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）在区间[m，n]（n＞m＞-1）上的值域为[log_a

， log_a

]，求实数p的取值范围；
（3）设函数F（x）=a^{f（x）-g（x）}，若w≥F（x）对一切x∈（-1，+∞）恒成立，求实数w的取值范围．

见解析

解：（1）由题意，函数y=f（x）是函数y=a^x-1的反函数，…（2分）
所以f（x）=log_a（x+1）（a＞1，x＞-1）．…（4分）
（2）因为a＞1，所以f（x）=log_a（x+1）在（-1，+∞）上是增函数，所以f(m)=log_a(m+1)=log_a

，f(n)=log_a(n+1)=log_a

，…（6分）
即m+1=

，n+1=

（n＞m＞-1且m≠0，n≠0），…（7分）
即m、n是方程x+1=

（x∈（-1，0）∪（0，+∞））的两个不同解．…（8分）
即关于x的方程x²+x-p=0在（-1，0）∪（0，1）有两个不同的解．
所以

{

△=1+4p＞0

(-1)²+(-1)-p＞0

＞-1

，解得-

＜p＜0．
（3）F(x)=a^{log_a(x+1)-log_a(x²-2x+2)}=a^{log_ax+1
x²-2x+2}=

x+1

x²-2x+2

，…（12分）
令t=x+1，t＞0，则x=t-1，于是F(x)=

(t-1)²-2(t-1)+2

t²-4t+5

-4

，…（14分）
因为t＞0，所以t+

-4≥2

√5

-4，当且仅当t=

√5

时取等号．…（15分）
所以F(x)_max=

√5

-4

√5

． …（16分）
因为w≥F（x）对一切x∈（-1，+∞）恒成立，所以w≥F（x）_max，…（17分）
因此w的取值范围是[

√5

， +∞)． …（18分）

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