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  • 定理：若函数f（x）在闭区间[m，n]上是连续的单调函数，且f（m）f（n）＜0，则存在唯一一个x0∈（m，n）使f（x0）=0．已知f(x)=sinx(0≤x≤π2)．（1）若g(x)=f(cosx)-ax(0≤x≤π2)是减函数，求a的取值范围．（2）是否存在c，d∈(0，π2)使f(cosc)=c和cos[f(d)]=d同时成立，若存在，指出c、d之间的等式关系，若不存在，请说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      定理：若函数f（x）在闭区间[m，n]上是连续的单调函数，且f（m）f（n）＜0，则存在唯一一个x0∈（m，n）使f（x0）=0．已知f(x)=sinx(0≤x≤
      π
      2
      )．
      （1）若g(x)=f(cosx)-ax(0≤x≤
      π
      2
      )是减函数，求a的取值范围．
      （2）是否存在c，d∈(0，
      π
      2
      )使f(cosc)=c和cos[f(d)]=d同时成立，若存在，指出c、d之间的等式关系，若不存在，请说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵g（x）=sin（cosx）-ax∴g'（x）=cos（cosx）?（-sinx）-a
      依题意cos(cosx)(-sinx)-a≤0对x∈[0，
      π
      2
      ]恒成立
      即a≥-cos（cosx）sinx
      显然-cos（cosx）sinx≤0∴a≥0，故a的取值范围是a≥0…（6分）
      （2）由（1）知：当a=1时，g(x)=f(cosx)-x在[0，
      π
      2
      ]上是减函数
      且g(0)=sin1＞0，g(
      π
      2
      )=-
      π
      2
      ＜0
      ∴存在唯一c∈(0，
      π
      2
      )使g(c)=0即f(cosc)=C…（8分）
      同理由F(x)=cosf(x)-x在[0，
      π
      2
      ]上是减函数
      且F(0)=1＞0，F(
      π
      2
      )=cos1-
      π
      2
      ＜0
      知存在d∈(0，
      π
      2
      )使F(d)=0
      即cosf（d）=d成立…（10分）
      由cosf（d）=d得f[cos（f（d））]=f（d）
      及f（cosc）=c的唯一性知c=f（d），即c=sind
      综上可知，存在c，d使f（cosc）=c和cos[f（d）]=d同时成立，且c=sind…（13分）
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      必修1人教A版单选题高中数学

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