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  • 已知定义在R上的单调函数f（x），存在实数x0，使得对于任意实数x1，x2，总有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+f（x1）+f（x2）恒成立．（1）求x0的值；（2）若f（x0）=1，且对于任意正整数n，有an=1f(n)，bn=f(12n)+1，记Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1，比较43Sn与Tn的大小关系，并给出证明；（3）在（2）的条件下，若不等式an+1+an+2+…+a2n＞435[log12(x+1)-log12(9x2-1)+1]对任意不小于2的正整数n都成立，求x的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知定义在R上的单调函数f（x），存在实数x0，使得对于任意实数x1，x2，总有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+f（x1）+f（x2）恒成立．
      （1）求x      0的值；
      （2）若f（x      0）=1，且对于任意正整数n，有an=
      1
      f(n)
      ，bn=f(
      1
      2n
      )+1，记Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1，比较
      4
      3
      Sn与Tn的大小关系，并给出证明；
      （3）在（2）的条件下，若不等式      an+1+an+2+…+a2n＞
      4
      35
      [log
      1
      2
      (x+1)-log
      1
      2
      (9x2-1)+1]对任意不小于2的正整数n都成立，求x的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）令x1=x2=0?f（x0）=-f（0）．又令x1=1，x2=0，f（1）=-f（0）．
      ∴f（x      0）=f（1），由函数f（x）单调性知，x0=1．
      （2）由（1）知，f（x      1+x2）=f（x1）+f（x2）+f（1）=f（x1）+f（x2）+1，
      由x      1，x2的任意性，令x1=n，x2=1，f（n+1）=f（n）+f（1）+1=f（n）+2，
      ∴f（n）=2n-1．（n∈N      *）．
      ∴      an=
      1
      2n-1
      ．
      又∵f(1)=f(
      1
      2
      +
      1
      2
      )=f(
      1
      2
      )+f(
      1
      2
      )+f(1)?f(
      1
      2
      )=0?b1=f(
      1
      2
      )+1=1．
      又∵f(
      1
      2n
      )=f(
      1
      2n+1
      +
      1
      2n+1
      )=2f(
      1
      2n+1
      )+1，
      ∴2b      n+1=2f(
      1
      2n+1
      )+2=f(
      1
      2n
      )+1=bn．
      ∴      bn=(
      1
      2
      )n-1．
      由数列求和方法知：      Sn=
      1
      2
      (1-
      1
      2n+1
      )，Tn=
      2
      3
      [1-(
      1
      4
      )n]．∴
      4
      3
      Sn-Tn=
      2
      3
      [(
      1
      4
      )n-
      1
      2n+1
      ]．
      ∵4      n=（3+1）n=Cnn3n+Cnn-13n-1+…+Cn13+Cn0≥3n+1＞2n+1，∴
      4
      3
      Sn＜Tn．
      （3）令F（n）=a      n+1+an+2+…+a2n?F（n+1）-F（n）=a2n+1+a2n+2-an+1=
      1
      4n+1
      +
      1
      4n+3
      -
      1
      2n+1
      ＞0（通分易证）∴当n≥2时，F(n)＞F(n-1)＞…＞F(2)=a3+a4=
      12
      35
      ．
      ∴
      12
      35
      ＞
      4
      35
      [log
      1
      2
      (x+1)-log
      1
      2
      (9x2-1)+1]?log
      1
      2
      (x+1)-log
      1
      2
      (9x2-1)＜2．
      解此不等式，所以x的取值范围为(-
      5
      9
      ，-
      1
      3
      )∪(
      1
      3
      ，1)．
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