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  • 已知函数f（x）=aln（x+1）-x2，若在区间（0，1）内任取两个不同实数m，n，不等式f(m+1)-f(n+1)m-n＜1恒成立，则实数a的取值范围是 ．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=aln（x+1）-x2，若在区间（0，1）内任取两个不同实数m，n，不等式
      f(m+1)-f(n+1)
      m-n
      ＜1恒成立，则实数a的取值范围是          ．

      试题解答

      a≤6
      解：由于
      f(m+1)-f(n+1)
      m-n
      =
      f(m+1)-f(n+1)
      (m+1)-(n+1)
      ，则表示点（m+1，f（m+1）） 与点（n+1，f（n+1））连线的斜率，因实数p，q在区间（0，1）内，故m+1和n+1在区间（1，2）内．
      ∵不等式
      f(m+1)-f(n+1)
      m-n
      =
      f(m+1)-f(n+1)
      (m+1)-(n+1)
      ，恒成立，
      ∴函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率小于1，
      故函数的导数小1在（1，2）内恒成立．
      由函数的定义域知，x＞-1，
      ∴f′（x）=
      a
      x+1
      -2x＜1 在（1，2）内恒成立．
      即 a＜2x      2+3x+1在（1，2）内恒成立．
      由于二次函数y=2x      2+3x+1在[1，2]上是单调增函数，
      故 x=1时，y=2x      2+3x+1 在[1，2]上取最小值为6，
      ∴a≤6，
      故答案为：a≤6．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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