下列说法中：①若定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=-f（x-1），则6为函数f（x）的周期；②若对于任意x∈（1，3），不等式x2-ax+2＜0恒成立，则a＞113；③定义：“若函数f（x）对于任意x∈R，都存在正常数M，使|f（x）|≤M|x|恒成立，则称函数f（x）为有界泛函．”由该定义可知，函数f（x）=x2+1为有界泛函；④对于函数f(x)=x-1x+1，设f2（x）=f[f（x）]，f3（x）=f[f2（x）]，…，fn+1（x）=f[fn（x）]（n∈N*且n≥2），令集合M={x|f2009（x）=x，x∈R}，则集合M为空集．正确的个数为（）试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

下列说法中：
①若定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=-f（x-1），则6为函数f（x）的周期；
②若对于任意x∈（1，3），不等式x²-ax+2＜0恒成立，则a＞

；
③定义：“若函数f（x）对于任意x∈R，都存在正常数M，使|f（x）|≤M|x|恒成立，则称函数f（x）为有界泛函．”由该定义可知，函数f（x）=x²+1为有界泛函；
④对于函数f(x)=

x-1

x+1

，设f₂（x）=f[f（x）]，f₃（x）=f[f₂（x）]，…，f_n+1（x）=f[f_n（x）]（n∈N^*且n≥2），令集合M={x|f₂₀₀₉（x）=x，x∈R}，则集合M为空集．
正确的个数为（　　）

解：①由题设定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=-f（x-1），得f（x+2）=-f（x-1）=f（x-4），故周期是6，正确．
②对于任意x∈（1，3），不等式x²-ax+2＜0恒成立，即a＞x+

对于任意x∈（1，3）恒成立，x+

≥2

√2

等号当且仅当x=

√2

时成立，又当x=1，x+

=3，x=3，x+

，故a≥

故不对．
③若命题成立，则必有M≥|x|+

|x|

，x∈R恒成立，这是不可能的，故不对．
④由题设f₂（x）=-

，f₃（x）=

x+1

x-1

，f₄（x）=

，f₅（x）=

1-x

x+1

f₆（x）=-x，f₇（x）=f₃（x）=

x+1

x-1

，故从f₃（x）开始组成了一个以f₃（x）为首项，以周期为4重复出现，由2009=3+501*4+2得f₂₀₀₉（x）=f₅（x），故

1-x

x+1

=x整理得，x²+2x-1=0，有解，故不对．
综上，仅有①正确
故应选A．

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