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  • 已知函数f（x）满足：f(1)=14，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x，y∈R），则f（2010）= ．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）满足：f(1)=
      1
      4
      ，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x，y∈R），则f（2010）=          ．

      试题解答

      1
      2
      解：取x=1，y=0得f(0)=
      1
      2

      法一：根据已知知f(1)=
      1
      4

      取x=1，y=1得f（2）=-（
      1
      4
      ）
      取x=2，y=1得f（3）=-（
      1
      2
      ）
      取x=2，y=2得f（4）=-（
      1
      4
      ）
      取x=3，y=2得f（5）=-（
      7
      16
      ）
      取x=3，y=3得f（6）=（
      1
      2
      ）
      猜想得周期为6
      法二：取x=1，y=0得f(0)=
      1
      2

      取x=n，y=1，有f（n）=f（n+1）+f（n-1），
      同理f（n+1）=f（n+2）+f（n）
      联立得f（n+2）=-f（n-1）
      所以f（n）=-f（n+3）=f（n+6）
      所以函数是周期函数，周期T=6，
      故f（2010）=f（0）=
      1
      2
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      必修1人教A版单选题高中数学

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