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  • 已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，且f（x?y）=f（x）+f（y），（1）证明：f（x）在定义域上是增函数；（2）若f(12)=-1，解不等式f(x)-f(1x-2)≥2．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，且f（x?y）=f（x）+f（y），
      （1）证明：f（x）在定义域上是增函数；
      （2）若f(
      1
      2
      )=-1，解不等式f(x)-f(
      1
      x-2
      )≥2．

      试题解答

      见解析
      证：（1）设x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，则
      x2
      x1
      ＞1
      ∴f(
      x2
      x1
      )＞0f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(
      x2
      x1
      ? x1)=f(x1)-f(
      x2
      x1
      ) -f(x1)=-f(
      x2
      x1
      )＜0
      ∴f（x      1）＜f（x2）∴f（x）在（0，+∞）上是增函数 （5分）
      （2）解：令x=
      1
      2
      ，y=1得，f(
      1
      2
      ×1)=f(
      1
      2
      )+f(1)?f(1)=0
      令x=2，y=
      1
      2
      得，f(1)=f(2×
      1
      2
      )=f(2)+f(
      1
      2
      )?f(2)=1
      令x=y=2得，f（4）=f（2）+f（2）=2
      ∴f(x)-f(
      1
      x-2
      )≥f(4)，f(x)≥f(
      4
      x-2
      )
      因此，
      {
      x≥
      4
      x-2
      x＞0
      1
      x-2
      ＞0
      ?x≥1+
      √5
      ，即原不等式的解集为[1+
      √5
      ，+∞）（12分）
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      必修1人教A版单选题高中数学

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