设f（x）是定义在R上的函数，对m、n∈R恒有x＞0，f（m+n）=f（m）?f（n），且当 x＞0时，0＜f（x）＜1．（1）求f（0）的值；（2）证明：x∈R时，恒有f（x）＞0；（3）求证：f（x）在R上是减函数；（4）若f（x）f（2-x）＞1，求x的范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

设f（x）是定义在R上的函数，对m、n∈R恒有x＞0，f（m+n）=f（m）?f（n），且当 x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）求f（0）的值；
（2）证明：x∈R时，恒有f（x）＞0；
（3）求证：f（x）在R上是减函数；
（4）若f（x）f（2-x）＞1，求x的范围．

试题解答

见解析

解：（1）∵对任意m，n∈R恒有f（m+n）=f（m）?f（n），
∴令m=0，可得f（n）=f（0）?f（n），
由f（n）的任意性，可得f（0）=1
∴f（0）的值为1；
（2）由（1）中结论，令m=-n
则f（0）=f（-n+n）=f（-n）?f（n）=1，可得f（-n）=

f(n)

因此，f（x）与f（-x）互为倒数，
∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，∴当x＜0时，0＜

f(x)

＜1，即f（x）＞1，
又∵x=0时，f（0）=1
∴当x∈R时恒有f（x）＞0；
（3）设x₁＞x₂，可得
f（x₁）=f（x₂+（x₁-x₂））=f（x₂）?f（x₁-x₂）
由（2）知当x∈R时，恒有f（x）＞0，
根据

f(x₁)

f(x₂)

=f（x₁-x₂）＜1，可得0＜f（x₁）＜f（x₂）
因此，f（x）在R上是减函数；
（4）∵f（x）f（2-x）=f[x（2-x）]，f（0）=1，
∴不等式f（x）f（2-x）＞1，即f[x（2-x）]＞f（0），
∵f（x）在R上是减函数，∴x（2-x）＜0，解之得x＜0或x＞2
因此，所求x的取值范围为（-∞，0）∪（2，+∞）．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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