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  • 已知函数f（x）定义在（-1，1）上，对于任意的x，y∈（-1，1），有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)，且当x＜0时，f（x）＞0．（Ⅰ）验证函数f(x)=ln1-x1+x是否满足这些条件；（Ⅱ）判断这样的函数是否具有奇偶性和其单调性，并加以证明．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）定义在（-1，1）上，对于任意的x，y∈（-1，1），有f(x)+f(y)=f(
      x+y
      1+xy
      )，且当x＜0时，f（x）＞0．
      （Ⅰ）验证函数f(x)=ln
      1-x
      1+x
      是否满足这些条件；
      （Ⅱ）判断这样的函数是否具有奇偶性和其单调性，并加以证明．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）由
      1-x
      1+x
      ＞0可得-1＜x＜1，即其定义域为（-1，1）
      又f(x)+f(y)=ln
      1-x
      1+x
      +ln
      1-y
      1+y
      =ln(
      1-x
      1+x
      ?
      1-y
      1+y
      )=ln
      1-x-y+xy
      1+x+y+xy
      =ln
      1-
      x+y
      1+xy
      1+
      x+y
      1+xy
      =f(
      x+y
      1+xy
      )
      又当x＜0时，1-x＞1+x＞0，∴
      1-x
      1+x
      ＞1∴ln
      1-x
      1+x
      ＞0
      故f(x)=ln
      1-x
      1+x
      满足这些条件．（3分）
      （Ⅱ）∵f（0）+f（0）=f（0）?f（0）=0
      ∴f（-x）+f（x）=f（0）=0?f（-x）=-f（x）
      ∴f（x）在（-1，1）上是奇函数．
      ∵f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)=f(
      x-y
      1-xy
      )
      当-1＜x＜y＜1时，
      x-y
      1-xy
      ＜0，由条件知f(
      x-y
      1-xy
      )＞0，
      即f（x）-f（y）＞0∴f（x）在（-1，1）上是减函数．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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