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  • 函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，且满足对于定义域内任意的x1，x2都有等式f（x1?x2）=f（x1）+f（x2）（Ⅰ）求f（1）的值；（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性并证明；（Ⅲ）若f（2）=1，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，解关于x的不等式f（2x-1）-3≤0．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，且满足对于定义域内任意的x1，x2都有等式f（x1?x2）=f（x1）+f（x2）
      （Ⅰ）求f（1）的值；
      （Ⅱ）判断f（x）的奇偶性并证明；
      （Ⅲ）若f（2）=1，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，解关于x的不等式f（2x-1）-3≤0．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）∵对于定义域内任意的x1，x2都有等式f（x1?x2）=f（x1）+f（x2），
      ∴令x      1=x2=1得：f（1）=f（1）+f（1），
      ∴f（1）=0；
      （Ⅱ）令x      1=x2=-1得：f（1）=f（-1）+f（-1），
      ∴f（-1）=0；
      再令x      1=-1，x2=x，则f（-x）=f（x），
      ∵函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
      ∴f（x）为偶函数．
      （Ⅲ） 令x      1=x2=2?f（4）=f（2）+f（2）=2f（2），
      再令x      1=4，x2=2?f（8）=f（4）+f（2）=2f（2）+f（2）=3f（2），
      ∵f（2）=1，
      ∴f（8）=3，
      又∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（x）为偶函数，
      ∴f（2x-1）≤f（8），
      ∴
      {
      2x-1≠0
      |2x-1|≤8
      ，
      解得-
      7
      2
      ≤x＜
      1
      2
      或
      1
      2
      ＜x≤
      9
      2
      ．
      ∴所求不等式的解集为{x|-
      7
      2
      ≤x＜
      1
      2
      或
      1
      2
      ＜x≤
      9
      2
      }．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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