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  • 已知定义域为R的函数f（x）对任意实数x，y满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且f(0)=0，f(π2)=1．（1）求f(π4)及f(3π2)的值；（2）求证：f（x）为奇函数且是周期函数．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知定义域为R的函数f（x）对任意实数x，y满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且f(0)=0，f(
      π
      2
      )=1．
      （1）求f(
      π
      4
      )及f(
      3π
      2
      )的值；
      （2）求证：f（x）为奇函数且是周期函数．

      试题解答

      见解析
      解：（1）在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中，
      取x=
      π
      4
      ，y=
      π
      4
      ，得f(
      π
      4
      +
      π
      4
      )+f(
      π
      4
      -
      π
      4
      )=2f(
      π
      4
      )cos
      π
      4
      ，
      即f(
      π
      2
      )+f(0)=
      √2
      f(
      π
      4
      )，…（3分）
      又已知f(0)=0，f(
      π
      2
      )=1，
      所以f(
      π
      4
      )=
      √2
      2
      ．…（4分）
      在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中，
      取x=π，y=
      π
      2
      ，得f(π+
      π
      2
      )+f(π-
      π
      2
      )=2f(π)cos
      π
      2
      ，
      即f(
      3π
      2
      )+f(
      π
      2
      )=0，…（7分）
      又已知f(
      π
      2
      )=1，
      所以f(
      3π
      2
      )=-1．…（8分）
      证明：（2）在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中，
      取x=0，
      得f（0+y）+f（0-y）=2f（0）cosy，
      又已知f（0）=0，
      所以f（y）+f（-y）=0，
      即f（-y）=-f（y），
      f（x）为奇函数．…（11分）
      在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中，
      取y=
      π
      2
      ，得f(x+
      π
      2
      )+f(x-
      π
      2
      )=0，
      于是有f(x+
      3π
      2
      )+f(x+
      π
      2
      )=0，
      所以f(x+
      3π
      2
      )=f(x-
      π
      2
      )，
      即f（x+2π）=f（x），
      f（x）是周期函数．…（14分）
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