定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的a，b∈R有f（a+b）=f（a）f（b）．（Ⅰ）求证：f（0）=1；（Ⅱ）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；（Ⅲ）证明：f（x）是R上的增函数．试题及答案-单选题-云返教育

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定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的a，b∈R有f（a+b）=f（a）f（b）．
（Ⅰ）求证：f（0）=1；
（Ⅱ）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
（Ⅲ）证明：f（x）是R上的增函数．

见解析

解：（Ⅰ）令a=b=0，则f（0）=[f（0）]²，
∵f（0）≠0，
∴f（0）=1；
（Ⅱ）令a=x，b=-x则 f（0）=f（x）f（-x）=1，
∴f（x）=

f(-x)

，
由已知x＞0时，f（x）＞1＞0，当x＜0时，-x＞0，f（-x）＞0，
∴f（x）=

f(-x)

＞0，
又x=0时，f（0）=1＞0
∴对任意x∈R，f（x）＞0；
（Ⅲ）在定义域R上任取自变量x₁，x₂，令x₂＞x₁，依题意知f（x₂）＞0，f（x₁）＞0，x₂-x₁＞0，
∵f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）?f（x₁）=f（x₂）f（-x₁）?f（x₁），
∴

f(x₂)

f(x₁)

=f（x₂）f（-x₁）=f（x₂-x₁）＞1，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在R上是增函数．

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