设函数f（x）=|x2-4x-5|．（1）在区间[-2，6]上画出函数f（x）的图象；（2）设集合A={x|f（x）≥5}，B=（-∞，-2]∪[0，4]∪[6，+∞）．试判断集合A和B之间的关系（要写出判断过程）；（3）当k＞2时，求证：在区间[-1，5]上，y=kx+3k的图象位于函数f（x）图象的上方．试题及答案-解答题-云返教育

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设函数f（x）=|x²-4x-5|．
（1）在区间[-2，6]上画出函数f（x）的图象；
（2）设集合A={x|f（x）≥5}，B=（-∞，-2]∪[0，4]∪[6，+∞）．试判断集合A和B之间的关系（要写出判断过程）；
（3）当k＞2时，求证：在区间[-1，5]上，y=kx+3k的图象位于函数f（x）图象的上方．

试题解答

见解析

解：（1）设-2≤x≤6，当x²-4x-5≥0时，
即6≥x≥5或-1≥x≥-2时，f（x）=x²-4x-5=（x-2）²-9
当x²-4x-5＜0时，即-1＜x＜5时，f（x）=-（x²-4x-5）=-（x-2）²+9
故作图如下：

（2）方程f（x）=5的解分别是2-

√14

，0，4
和2+

√14

，由于f（x）在（-∞，-1]和[2，5]上单调递减，
在[-1，2]和[5，+∞）上单调递增，
∴A=( -∞， 2-

√14

] ∪[ 0， 4 ]∪[ 2+

√14

， +∞ )．
由于2+

√14

＜6，2-

√14

＞-2
∴B?A．

（3）当x∈[-1，5]时，f（x）=-x²+4x+5．
g（x）=k（x+3）-（-x²+4x+5）=x²+（k-4）x+（3k-5）=(x-

4-k

)²-

k²-20k+36

，
∵k＞2，∴

4-k

＜1．又-1≤x≤5，
①当-1≤

4-k

＜1，即2＜k≤6时，
取x=

4-k

，g（x）_min=-

k²-20k+36

[(k-10)²-64]．
∵16≤（k-10）²＜64，
∴（k-10）²-64＜0，则g（x）_min＞0．
②当

4-k

＜-1，即k＞6时，取x=-1，g（x）_min=2k＞0．
由①、②可知，当k＞2时，g（x）＞0，x∈[-1，5]．
因此，在区间[-1，5]上，y=k（x+3）的图象位于函数f（x）图象的上方．

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