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  • 定义在R上的非零偶函数y=f（x）满足：对任意的x，y∈[0，+∞）都有f（x+y）=f（x）?f（y）成立，且当x＞0时，f（x）＞1．（1）若f（1）=2，求f（-4）的值；（2）证明：函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数；（3）若关于x的方程f(x)=f(a(x-1)x+1)在（2，+∞）上有两个不同的实根，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      定义在R上的非零偶函数y=f（x）满足：对任意的x，y∈[0，+∞）都有f（x+y）=f（x）?f（y）成立，且当x＞0时，f（x）＞1．
      （1）若f（1）=2，求f（-4）的值；
      （2）证明：函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数；
      （3）若关于x的方程f(x)=f(
      a(x-1)
      x+1
      )在（2，+∞）上有两个不同的实根，求实数a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      （1）解：令x=y=1，则有f（1+1）=f（1）?f（1）=2?2=4，
      ∴f（2）=4，
      令x=y=2，则有f（2+2）=f（2）?f（2）=4?4=16，
      ∴f（4）=16，又∵y=f（x）为定义在R上的偶函数，
      ∴f（-4）=f（4）=16；
      （2）证明：设0＜x      1＜x2，
      则f（x      1）-f（x2）=f（x1）-f[（x2-x1）+x1]=f（x1）-f（x2-x1）f（x1）=f（x1）[1-f（x2-x1）]，
      ∵x＞0时f（x）＞1＞0，0＜x      1＜x2，
      ∴x      2-x1＞0，f（x1）＞0，f（x2-x1）＞1，
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
      ∴函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数；
      （3）解：由偶函数的性质可得，f(x)=f(
      a(x-1)
      x+1
      )可化为f（|x|）=f（|
      a(x-1)
      x+1
      |），
      由（2）知f（x）在（0，+∞）上为单调递增，
      ∴x∈（2，+∞）时，有x=|
      a(x-1)
      x+1
      |，即|a|=
      x(x+1)
      x-1
      在（2，+∞）上有两个不等实根，
      x(x+1)
      x-1
      =（x-1）+
      2
      x-1
      +3，
      令t=x-1，则t＞1，t+
      2
      t
      +3≥2
      √2
      +3，当t=
      √2
      时取等号，
      作出t+
      2
      t
      +3的草图，如图所示：
      由图象可知，要使方程f(x)=f(
      a(x-1)
      x+1
      )在（2，+∞）上有两个不同的实根，只需2
      √2
      +3＜|a|＜6，
      解得2
      √2
      +3＜a＜6，或-6＜a＜-2
      √2
      -3．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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