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  • 已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f(x+π2)为偶函数，对于函数y=f（x）有下列几种描述：①y=f（x）是周期函数②x=π是它的一条对称轴；③（-π，0）是它图象的一个对称中心；④当x=π2时，它一定取最大值；其中描述正确的是 ．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f(x+
      π
      2
      )为偶函数，对于函数y=f（x）有下列几种描述：
      ①y=f（x）是周期函数②x=π是它的一条对称轴；③（-π，0）是它图象的一个对称中心；
      ④当x=
      π
      2
      时，它一定取最大值；其中描述正确的是           ．

      试题解答

      ①③
      解：∵y=f(x+
      π
      2
      )为偶函数
      ∴f（-x+
      π
      2
      ）=f（x+
      π
      2
      ），对称轴为
      π
      2

      而y=f（x）是定义在R上的奇函数
      ∴f（-x+
      π
      2
      ）=-f（x-
      π
      2
      ）=f（x+
      π
      2
      ）
      即f（x+
      π
      2
      ）=-f（x-
      π
      2
      ），f（x+π）=-f（x），f（x+2π）=f（x）
      ∴y=f（x）是周期函数，故①正确
      x=
      π
      2
      +2kπ（k∈Z）是它的对称轴，故②不正确
      （-π，0）是它图象的一个对称中心，故③正确
      当x=
      π
      2
      时，它取最大值或最小值，故④不正确
      故答案为：①③
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