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  • 已知函数f（x）=x2+cax+b为奇函数，f（1）＜f（3），且不等式0≤f（x）≤32的解集是{x|-2≤x≤-1或2≤x≤4}．（1）求a，b，c的值；（2）是否存在实数m使不等式f（-2+sinθ）＜-m2+32对一切θ∈R成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=
      x2+c
      ax+b
      为奇函数，f（1）＜f（3），
      且不等式0≤f（x）≤
      3
      2
      的解集是{x|-2≤x≤-1或2≤x≤4}．
      （1）求a，b，c的值；
      （2）是否存在实数m使不等式f（-2+sinθ）＜-m      2+
      3
      2
      对一切θ∈R成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f（x）是奇函数，
      ∴f（-x）=-f（x）对定义域内的一切x都成立，即b=0．
      从而f（x）=
      1
      a
      （x+
      c
      x
      ）．
      又∵
      {
      f(2)≥0
      f(-2)≥0
      ，即
      {
      f(2)≥0
      -f(2)≥0

      ∴f（2）=0，解之，得c=-4．
      再由f（1）＜f（3），得
      {
      a＞0
      c＜3
      或
      {
      a＜0
      c＞3
      从而a＞0．
      此时f（x）=
      1
      a
      （x-
      4
      x
      ）
      在[2，4]上是增函数．
      注意到f（2）=0，则必有f（4）=
      3
      2
      ，
      ∴
      1
      a
      （4-
      4
      4
      ）=
      3
      2
      ，即a=2．
      综上可知，a=2，b=0，c=-4．

      （2）由（1），得f（x）=
      1
      2
      （x-
      4
      x
      ），
      该函数在（-∞，0）以及（0，+∞）上均为增函数．
      又∵-3≤-2+sinθ≤-1，
      ∴f（-2+sinθ）的值域为[-
      5
      6
      ，
      3
      2
      ]．
      符合题设的实数m应满足
      3
      2
      -m2＞
      3
      2
      ，即m2＜0，
      故符合题设的实数m不存在．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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