已知函数f（x）=4x+2x+1+a2x．（1）a的值为多少时，f（x）是偶函数？（2）若f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=

4^x+2^x+1+a

2^x

．
（1）a的值为多少时，f（x）是偶函数？
（2）若f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．

见解析

解：（1）∵f（x）=

4^x+2^x+1+a

2^x

=2^x+2+

2^x

=2^x+2+a?2^-x，
∴若f（x）是偶函数，
则f（-x）=f（x），
即2^-x+2+a?2^x=2^x+2+a?2^-x，
∴（a-1）（2^x-2^-x）=0，
即a-1=0，解得a=1．
（2）∵f（x）=

4^x+2^x+1+a

2^x

=2^x+2+a?2^-x，
∴f'（x）=2^xln?2-a?2^-xln?2，
若f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，
则f'（x）=2^xln?2-a?2^-xln?2≥0恒成立，
即a≤

2^x

2^-x

=4^x在[0，+∞）上恒成立，
∵在[0，+∞）上，4^x≥1，
∴a≤1，
即实数a的取值范围a≤1．

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