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  • 设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x≠0时，xf（x）＜0，f（1）=-2（1）求证：f（x）是奇函数；（2）试问：在-n≤x≤n时（n∈N*），f（x）是否有最大值？如果有，求出最大值，如果没有，说明理由．（3）解关于x的不等式12f(bx2)-f(x)≥12f(b2x)-f(b)，(b＞0)．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x≠0时，xf（x）＜0，f（1）=-2
      （1）求证：f（x）是奇函数；
      （2）试问：在-n≤x≤n时（n∈N      *），f（x）是否有最大值？如果有，求出最大值，如果没有，说明理由．
      （3）解关于x的不等式
      1
      2
      f(bx2)-f(x)≥
      1
      2
      f(b2x)-f(b)，(b＞0)．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），设x=y=0可求得f（0）=0．
      设y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x），即f（-x）=-f（x），所以f（x）为奇函数．
      （2）由xf（x）＜0，可得当x＞0时，f（x）＜0；当x＜0时，f（x）＞0．
      任取x      1＜x2，则x2-x1＞0，又f（x2）=f[（x2-x1）+x1]=f（x2-x1）+f（x1），
      所以f（x      2）-f（x1）=f（x2-x1）＜0，所以f（x）在[-n，n]上为减函数．
      那么函数最大值为f（-n），最小值为f（n），且f（-n）=-nf（1）=2n，f（n）=nf（1）=-2n，
      所以函数最大值为2n，所以函数最小值为-2n．
      （3）由题设可知
      1
      2
      f(bx2)+f(b)＞
      1
      2
      f(b2x)+f(x)，即
      1
      2
      f(bx2)+
      1
      2
      f(b)+
      1
      2
      f(b)＞
      1
      2
      f(b2x)+
      1
      2
      f(x)+
      1
      2
      f(x)，
      可化为
      1
      2
      f(bx2+b+b)＞
      1
      2
      f(b2x+x+x)，即f（bx2+b+b）＞f（b2x+x+x）．
      ∵f（x）在R上为减函数，∴bx      2+2b＜b2x+2x，即bx2-（b2+2）+2b＜0，即（bx-2）（x-b）＜0．
      ①当
      2
      b
      ＞b，即 0＜b＜
      √2
      ，不等式的解集为 {x|b＜x＜
      2
      b
      }，
      ②当
      2
      b
      ＜b，即 b＞
      √2
      ，则不等式的解集为{x|
      2
      b
      ＜x＜b}，
      ③当
      2
      b
      =b，即b=
      √2
      ，则不等式无解，即解集为?．
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