见解析
解：（1）∵2x+3-x2＞0，…（2分）∴-1＜x＜3，…（3分）
∴函数f（x）的定义域为（-1，3）．…（4分）
（2）设u=2x+3-x2，则f（u）=log4u．…（5分）
∵f（u）=log4u是增函数，…（6分）
∴当x∈（-1，1）时，函数u=2x+3-x2是单调增函数；此时原函数为增函数．…（8分）
当x∈（1，3）时，函数u=2x+3-x2是单调减函数，此时，原函数为减函数．
故原函数的单调增区间为（-1，1），单调减区间为（1，3）．…（10分）
（3）∵当x=1时，u=2x+3-x2有最大值是4，…（12分）
∴当x=1时，函数f（x）有最大值是1．…（14分）
