已知函数f(x)=2x-12x+1．（Ⅰ）证明：f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；（Ⅱ）证明：对于任意不小于3的自然数n，都有f（n）＞nn+1．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f(x)=

2^x-1

2^x+1

．
（Ⅰ）证明：f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）证明：对于任意不小于3的自然数n，都有f（n）＞

n+1

．

试题解答

见解析

（Ⅰ）证明：设x₁，x₂为任意两个实数，且x₁＜x₂，
f（x）=

2^x-1

2^x+1

=1-

2^x+1

，
f（x₂）-f（x₁）=

2^x₁+1

2^x₂+1

2(2^x₂-2^x₁)

(2^x₁+1)(2^x₂+1)

，
由指数函数性质知，(2^x₁+1)(2^x₂+1)＞0，2^x₂-2^x₁＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
故f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）要证f（n）＞

n+1

（n∈N，n≥3），即要证1-

2ⁿ+1

＞1-

n+1

，
即要证2ⁿ-1＞2n（n≥3）．①
现用数学归纳法证明①式．
（1）当n=3时，左边=2³-1=7，右边=2×3=6，
∴左边＞右边，因而当n=3时①式成立．
（2）假设当n=k（k≥3）时①式成立，即有2^k-1＞2k，那么
2^k+1-1=2?2^k-1=2（2^k-1）+1＞2?2k+1=2（k+1）+（2k-1），
∵k≥3，∴2k-1＞0．
∴2^k+1-1＞2（k+1）．
这就是说，当n=k+1时①式成立．
根据（1）（2）可知，①式对于任意不小于3的自然数n都成立．
由此有f（n）＞

n+1

．（n≥3，n∈N）．

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已知函数f(x)=2x-12x+1．（Ⅰ）证明：f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；（Ⅱ）证明：对于任意不小于3的自然数n，都有f（n）＞nn+1．试题及答案-单选题-云返教育

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