已知函数f(x)=2x-1mx+1（x∈R），且f(3)=79．（1）判断函数y=f（x）在R上的单调性，并给出证明；（2）若f（2×3x-2）＞f（7-3x），求x的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f(x)=

2^x-1

m^x+1

（x∈R），且f(3)=

．
（1）判断函数y=f（x）在R上的单调性，并给出证明；
（2）若f（2×3^x-2）＞f（7-3^x），求x的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）由已知得

2³-1

m³+1

，m³=8，∴m=2…（3分）
∴f(x)=

2^x-1

2^x+1

2^x+1-2

2^x+1

=1-

2^x+1

任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂…（4分）
则f(x₂)-f(x₁)=1-

2^x₂+1

-(1-

2^x₁+1

)…（6分）
=

2^x₁+1

2^x₂+1

2(2^x₂-2^x₁)

(2^x₁+1)(2^x₂+1)

…（8分）
∵(2^x₁+1)＞0，(2^x₂+1)＞0，∴(2^x₁+1)(2^x₂+1)＞0
又∵x₂＞x₁，∴2^x₂＞2^x₁，∴2^x₂-2^x₁＞0…（10分）
∴

2(2^x₂-2^x₁)

(2^x₁+1)(2^x₂+1)

＞0，
即f（x₂）-f（x₁）＞0，f（x₂）＞f（x₁）
∴函数y=f（x）在R上为单调增函数． …（12分）
（2）∵f（2×3^x-2）＞f（7-3^x），
由（1）知函数y=f（x）在R上为单调增函数，
∴2×3^x-2＞7-3^x，…（14分）
化简得3^x＞3，…（15分）
∴x＞1，∴不等式f（2×3^x-2）＞f（7-3^x）的解集为（1，+∞）． …（16分）

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必修1 人教A版单选题高中数学

已知函数f(x)=2x-1mx+1（x∈R），且f(3)=79．（1）判断函数y=f（x）在R上的单调性，并给出证明；（2）若f（2×3x-2）＞f（7-3x），求x的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题