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  • 已知函数f（x）=√x-1x+1（Ⅰ）写出f（x）的定义域并证明它在其定义域内是增函数；（Ⅱ）求f（x）的值域．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=
      √x
      -
      1
      x+1

      （Ⅰ）写出f（x）的定义域并证明它在其定义域内是增函数；
      （Ⅱ）求f（x）的值域．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）由题意，f（x）的定义域为[0，+∞），
      设0≤x      1＜x2，则f（x1）-f（x2）=（
      √x1
      -
      1
      x1+1
      ）-（
      √x2
      -
      1
      x2+1
      ）
      =
      √x1
      -
      √x2
      +
      1
      x2+1
      -
      1
      x1+1

      =
      x1-x2
      √x1
      +
      √x2
      +
      x1-x2
      (x1+1)(x2+1)

      =（x      1-x2）（
      1
      √x1
      +
      √x2
      +
      1
      (x1+1)(x2+1)
      ）；
      ∵x      1-x2＜0，
      1
      √x1
      +
      √x2
      +
      1
      (x1+1)(x2+1)
      ＞0；
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0，
      即f（x      1）＜f（x2）；
      ∴f（x）在[0，+∞）上是增函数．
      （Ⅱ）∵f（x）在定义域[0，+∞）上是增函数，
      ∴f（x）≥f（0），
      又f（0）=
      √0
      -
      1
      0+1
      =-1，
      ∴f（x）≥-1；
      ∴f（x）的值域是[-1，+∞）．
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