已知f（x）是定义在R上的奇函数，对任意的x都有f（x+2）=f（x）成立，且当x∈（0，1）时f(x)=2x4x+1．（1）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并加以证明；（2）求f（x）在[-1，1]上的解析式；（3）当关于x的方程f（x）-1=2λ在[-1，1]上有实数解时，求实数λ的取值范围，试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知f（x）是定义在R上的奇函数，对任意的x都有f（x+2）=f（x）成立，且当x∈（0，1）时f(x)=

2^x

4^x+1

．
（1）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并加以证明；
（2）求f（x）在[-1，1]上的解析式；
（3）当关于x的方程f（x）-1=2λ在[-1，1]上有实数解时，求实数λ的取值范围，

见解析

解：（1）f（x）在（0，1）上是减函数，证明如下
当x∈（0，1）时，f（x）=

2^x

4^x+1

．
设0＜x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=

2^{x ₁}

4^x₁+1

2^x₂

4^x₂+1

(2^x₂-2^x₁)(2^x₁₊x₂-1)

( 4^x₁+1)(4^x₂+1)

∵0＜x₁＜x₂＜1，∴2^x₂-2^x₁＞0，2 ^x₁+x₂-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在（0，1）上单调递减
（2）解：当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1）．
∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-

2^x

4^x+1

由f（0）=f（-0）=-f（0），且f（1）=-f（-1）=-f（-1+2）=-f（1），
得f（0）=f（1）=f（-1）=0．∴在区间[-1，1]上，有f（x）=

{

2^x

4^x+1

x∈(0，1)

2 ^x

4 ^x+1

x∈(-1，0)

0 x∈{-1，0，1}

（3）解：f（x）-1=2λ在[-1，1]上有实数解，转化为λ=

f（x）-

由函数的单调性求出函数在[-1，1]的值域
即得，f（x）的值域为(-

，-

)∪(

，

)∪{0}λ∈(-

，-

)∪(-

，-

)∪{-

}

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