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  • 若函数y=f（x）（x∈D）同时满足以下条件：①它在定义域D上是单调函数；②存在区间[a，b]?D使得f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，我们将这样的函数称作“A类函数”，（1）函数y=2x-log2x是不是“A类函数”？如果是，试找出[a，b]；如果不是，试说明理由；（2）求使得函数f（x）=12x-kx+1，x∈（0，+∞）是“A类函数”的常数k的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      若函数y=f（x）（x∈D）同时满足以下条件：
      ①它在定义域D上是单调函数；②存在区间[a，b]?D使得f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，我们将这样的函数称作“A类函数”，
      （1）函数y=2x-log      2x是不是“A类函数”？如果是，试找出[a，b]；如果不是，试说明理由；
      （2）求使得函数f（x）=
      1
      2
      x-
      k
      x
      +1，x∈（0，+∞）是“A类函数”的常数k的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）求导函数，可得y′=2-
      1
      xln2
      ，令y′=0，则x=
      1
      2ln2
      ，
      ∴函数y=2x-log      2x在（0，
      1
      2ln2
      ）上y′＜0，函数单调减，在（
      1
      2ln2
      ，+∞）上y′＞0，函数单调增
      ∴函数y=2x-log      2x不是“A类函数”；
      （2）求导函数，可得f′（x）=
      1
      2
      +
      k
      x2
      ，则k＞0时，f′（x）＞0，函数在（0，+∞）上单调增
      设函数f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，[a，b]∈（0，+∞）
      ∴a，b是方程
      1
      2
      x-
      k
      x
      +1=x的两个不等的正根
      ∴a，b是方程x      2-2x+2k=0的两个不等的正根
      ∴
      {
      △=4-8k＞0
      k＞0

      ∴0＜k＜
      1
      2

      综上，0＜k＜
      1
      2
      时，函数f（x）=
      1
      2
      x-
      k
      x
      +1，x∈（0，+∞）是“A类函数”．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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