函数f（x）的定义域为M，若存在闭区间[a，b]?M，使得函数f（x）满足：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为y=f（x）的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有（）①f（x）=x2（x≥0）； ②f（x）=ex-1（x∈R）；③f(x)=4xx2+1(x≥0)； ④f(x)=loga(ax-18)(a＞0，a≠1)．试题及答案-单选题-云返教育

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函数f（x）的定义域为M，若存在闭区间[a，b]?M，使得函数f（x）满足：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为y=f（x）的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有（　　）
①f（x）=x²（x≥0）； ②f（x）=e^x-1（x∈R）；
③f(x)=

x²+1

(x≥0)； ④f(x)=log_a(a^x-

)(a＞0，a≠1)．

试题解答

解：①由二次函数的单调性知道：函数f（x）=x²在x≥0时单调递增，令x²=2x，解得x=0或2，f（x）在区间[0，2]上的值域为[0，4]．
由此可知：区间[0，2]是函数f（x）=x²的倍值区间．
②由于函数y=e^x在R上单调递增，所以f（x）=e^x-1在R上单调递增．
令e^x-1=2x，再令g（x）=e^x-2x-1，求导得g^′（x）=e^x-2，令e^x-2=0，解得x=ln2．
经判断得到：g（x）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，故在x=ln2时，g（x）取得最小值g（ln2）=2-1-2ln2=1-ln4＜0，
又g（2）=e²-5＞0，g（1）=e-3＜0，所以e^x-1=2x有两解0与b，其中b满足1＜b＜2且e^b-2b-1=0．
可知：f（0）=0，f（b）=2b，满足题意，所以区间[0，b]是函数f（x）=e^x-1的倍值区间．
③由

x²+1

=2x解得x=0或1；又当0≤x≤1时，f′(x)=

4(1-x)(1+x)

(x²+1)²

≤0，所以函数f（x）在区间[0，1]上单调递减，所以区间[0，1]是函数f（x）的倍值区间．
④要使函数f（x）有意义，则满足a^x＞

，取a＞1，令log_a(a^x-

)=2x，则a^2x-a^x+

=0，解得a^x=

2±

√2

＞

．
由于函数y=log_ax在x＞0时单调递增，所以当a＞1时，函数f（x）在区间[

√2

，

√2

]上单调递增，所以区间[

√2

，

√2

]是函数f（x）的倍值区间．
综上可知①②③④皆正确．
故选A．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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