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  • 已知f（x）=x+ax2+2是定义在[-1，1]上的奇函数，试判断它的单调性，并证明你的结论．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知f（x）=
      x+a
      x2+2
      是定义在[-1，1]上的奇函数，试判断它的单调性，并证明你的结论．

      试题解答

      见解析
      解：∵f（x）=
      x+a
      x2+2
      是定义在[-1，1]上的奇函数，
      ∴f（0）=0，即a=0．
      ∴f（x）=
      x
      x2+1
      ，故函数f（x）在[-1，1]上为增函数．
      证明如下：任取-1≤x      1＜x2≤1，
      ∴x      1-x2＜0，-1＜x1x2＜1，∴1-x1x2＞0．
      ∴f(x      1)-f(x2)=
      x1
      x
      2
      1
      +1
      -
      x2
      x
      2
      2
      +1
      =
      x1x
      2
      2
      +x1-x
      2
      1
      x2-x2
      (x
      2
      1
      +1)(x
      2
      2
      +1)
      =
      x1x2(x2-x1)-(x2-x1)
      (x
      2
      1
      +1)(x
      2
      2
      +1)
      =
      (x1-x2)(1-x1x2)
      (x
      2
      1
      +1)(x
      2
      2
      +1)
      ＜0，
      ∴f（x      1）＜f（x2），
      ∴f（x）在[-1，1]上为增函数．
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