（2013?湖北）设n是正整数，r为正有理数．（1）求函数f（x）=（1+x）r+1﹣（r+1）x﹣1（x＞﹣1）的最小值；（2）证明：；（3）设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如．令的值．（参考数据：．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

（2013?湖北）设n是正整数，r为正有理数．
（1）求函数f（x）=（1+x）^r+1﹣（r+1）x﹣1（x＞﹣1）的最小值；
（2）证明：

；
（3）设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如

．令

的值．
（参考数据：

．

试题解答

见解析

（1）由题意得f'（x）=（r+1）（1+x）^r﹣（r+1）=（r+1）[（1+x）^r﹣1]，
令f'（x）=0，解得x=0．
当﹣1＜x＜0时，f'（x）＜0，∴f（x）在（﹣1，0）内是减函数；
当x＞0时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）内是增函数．
故函数f（x）在x=0处，取得最小值为f（0）=0．
（2）由（1），当x∈（﹣1，+∞）时，有f（x）≥f（0）=0，
即（1+x）^r+1≥1+（r+1）x，且等号当且仅当x=0时成立，
故当x＞﹣1且x≠0，有（1+x）^r+1＞1+（r+1）x，①
在①中，令